Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

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Enunciado

Uma barra homogênea de comprimento L e massa M está presa em uma de suas extremidades a uma parede vertical, conforme a figura ao lado. A barra gira sem atrito ao redor do ponto O , sendo abandonada na posição horizontal com velocidade inicial nula. O momento de inércia da barra em relação ao ponto O é I = M L 2 / 3 e a aceleração da gravidade local é g . No instante em que a barra faz um ângulo θ = 30 ° com a vertical, a aceleração angular da barra é:

  1. 3 8 g L
  2. 3 4 g L
  3. 2 3 g L
  4. 1 2 g L
  5. 1 4 g L

Passo 1

Podemos tirar a informação da aceleração angular pela fórmula...

τ = I α

Onde τ é a informação de torque, I é o momento de inércia e α finalmente a nossa aceleração angular.

BELEZA! Então repare que se conhecermos o valor do torque, a gente pode tirar a aceleração angular através de...

α = τ I

Então é isso que vamos fazer! Buscar o valor do torque .

Passo 2

POW! O problema nos disse que nos vamos pegar a haste, levar ela até a posição horizontal e depois soltar. Não sei se você concorda comigo, mas a única força que vai existir na haste nesse momento é a força peso apontada para baixo e é a força que vai “puxar” a haste a fazendo girar:

Mas uma pergunta interessante a se fazer aqui: Onde a força peso está aplicada? Em outras palavras... Quem é à distância R (módulo do vetor R → C M , ou R → C M )?

Sabemos que a força peso é a única força na haste, logo é a força resultante. E tipo... A força resultante sempre vai está agindo no centro de massa do corpo. Se o nosso corpo é uma haste de comprimento L ... O centro de massa vai ser o ponto central dela ( L / 2 ) de modo que...

R → C M = R = L 2

De acordo com a nossa teoria, o torque causado por essa força peso na haste pode ser dado por...

τ → = R → C M × P →

Ou, em termos de módulo...

τ = R P sin ⁡ θ   →

τ = L 2 P sin ⁡ θ   →

O peso P da haste é a massa de toda a haste vezes a gravidade...

τ = L 2 M g sin ⁡ θ   →

Se a haste estiver a θ = 30 ° com a vertical...

τ = L 2 M g sin ⁡ 30 °   →

τ = L 2 M g 1 2 →

τ = L 4 M g

Passo 3

BELEZA!!! Temos o valor do torque da haste. Para encontrar a aceleração então como vimos no passo 1...

α = τ I →

α = L 4 M g M L 2 / 3       →

Simplificando...

α = L 4 M g ⋅ 3 M L 2       →

α = 3 4 g L

Resposta

LETRA B.

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