Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

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Enunciado

Três objetos em “T” são feitos, cada um, com duas hastes idênticas, de mesma massa e mesmo comprimento. Eles giram com velocidade angular constante em torno dos eixos tracejados. Sabendo que todas as configurações têm a mesma energia cinética de rotação, o que se pode dizer sobre o módulo da velocidade angular em cada caso?

(A) ω a = ω c < ω b

(B) ω b < ω a = ω b

(C) ω b < ω c < ω a

(D) ω c < ω b < ω a

(E) ω a < ω c < ω b

Passo 1

Energia cinética de rotação é dada por:

K R = I ω 2 2

O enunciado diz que todos os três objetos têm a mesma energia cinética de rotação K , então:

K = I a ω a 2 2 = I b ω b 2 2 = I c ω c 2 2

K = I a ω a 2 = I b ω b 2 = I c ω c 2

Queremos saber qual das velocidades angulares ω é maior ou menor para que todos eles tenham a mesma energia cinética K .

Então, precisamos descobrir os momentos de inércia com relação a cada um dos eixos em (a), (b) e (c) para relacionar as velocidades angulares ω .

Aqui, podemos fazer analisando qualitativamente ou então fazendo as contas.

O jeitinho analisando é mais rápido, mas vamos fazer os dois pra ficar fera nisso.

Passo 2

O momento de inércia nos três casos será a soma dos momentos de cada haste.

Nos três casos, temos uma das hastes com o eixo passando por sua extremidade, portanto elas terão o mesmo momento de inércia I ' :

Então, contabilizando apenas essas hastes, os momentos de inércia nos três casos estão iguais.

As hastes restantes que farão a diferença.

Dentre as hastes restantes, a que está mais afastada do eixo de rotação terá o maior momento de inércia, então:

I a > I c > I b

Agora, vamos voltar à expressão das energias cinéticas:

K = I a ω a 2 = I b ω b 2 = I c ω c 2

Quanto maior o momento de inércia I , menor tem que ser a velocidade angular ω para manter o mesmo valor de energia cinética K .

Então, temos que a relação inversa dos momentos de inércia:

ω a < ω c < ω b

Achamos a letra (E) como resposta.

Passo 3

Para quem quiser fazer umas continhas de momento de inércia, esse é um bom treino...

Antes de calcular esses momentos de inércia, vamos calcular um caso que aparece nos três casos...

O momento de inércia de uma haste com relação a um eixo perpendicular passando pelo seu centro de massa é:

I C M = 1 12 M L 2

Para o momento de inércia de uma haste com o eixo perpendicular passando pela extremidade, precisamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I = I C M + M d 2

I = 1 12 M L 2 + M L 2 2

I = M L 2 1 12 + 1 4

I = 1 3 M L 2

Passo 4

O momento de inércia no caso (a), será a soma dos momentos de inércia das duas hastes do “T” com relação ao eixo horizontal passando pelo topo do objeto:

I a = I 1 + I 2

O momento de inércia da haste 1 é exatamente o caso que calculamos no Passo 2:

I 1 = 1 3 M L 2

O momento de inércia da haste 2 é dado por:

I 2 = ∫ r 2 d m

Eita! Integral?

Não se assusta, calma.

Isso é uma forma de multiplicar cada elementozinho de massa da barra d m pela sua distância r do eixo ao quadrado.

Mas como todos os elementos da haste 2 estão a uma mesma distância do eixo, igual ao comprimento da haste 1:

r = L

Podemos tirar essa constante da integral:

I 2 = L 2 ∫ d m

E integral de d m é o somatório de todos os elementozinhos de massa da haste, ou seja sua própria massa:

I 2 = L 2 M

I 2 = M L 2

OBS: Como todos os pontos da haste estão a uma mesma distância L do eixo, ela terá o mesmo momento de inércia que uma partícula de massa M a uma distância L do eixo.

Então, o momento de inércia total desse objeto será:

I a = I 1 + I 2

I a = 1 3 M L 2 + M L 2

I a = M L 2 1 3 + 1

I a = 4 3 M L 2

Passo 5

O momento de inércia no caso (b), será a soma dos momentos de inércia das duas hastes do “T” com relação ao eixo horizontal passando pela haste inferior:

I b = I 1 + I 2

O momento de inércia da haste 1 é exatamente igual ao caso que calculamos no Passo 2:

I 1 = 1 3 M L 2

Já o momento de inércia da haste 2 será um pouco diferente. Como a largura/diâmetro dessa haste é desprezível, é como se todos os elementos de massa da haste estivessem posicionados sobre o eixo de rotação.

Assim, o momento de inércia da haste 2 com relação ao eixo passando por ela é nulo:

I 2 = ∫ r 2 d m

I 2 = ∫ 0 2 d m

I 2 = 0

Então, o momento de inércia total no caso (b) é:

I b = I 1 + I 2

I b = 1 3 M L 2 + 0

I b = 1 3 M L 2

Passo 6

O momento de inércia no caso (c), será a soma dos momentos de inércia das duas hastes do “T” com relação ao eixo vertical passando pela extremidade da haste inferior:

I c = I 1 + I 2

O momento de inércia da haste 1 é dado por:

I 1 = ∫ r 2 d m

Assim como já fizemos anteriormente, a distância r da barra ao eixo é constante, então podemos tirar da integral:

I 1 = r 2 ∫ d m

I 1 = r 2 M

Como a distância da haste 1 ao eixo é metade do comprimento da haste 2, temos:

I 1 = M L 2 2

I 1 = 1 4 M L 2

Enquanto isso, o momento de inércia da haste 2 será aquele mesmo caso que já calculamos no Passo 2:

I 2 = 1 3 M L 2

Logo, o momento de inércia total no caso (c), será:

I c = I 1 + I 2

I c = 1 4 M L 2 + 1 3 M L 2

I c = M L 2 1 4 + 1 3

I c = M L 2 3 12 + 4 12

I c = 7 12 M L 2

Passo 7

Agora que temos o momento de inércia de cada caso, podemos comparar as velocidades angulares:

I a ω a 2 = I b ω b 2 = I c ω c 2

Para manter a igualdade, o objeto que tiver maior momento de inércia I terá que ter a menor velocidade angular ω , mas vamos fazer essas continhas de qualquer forma para achar exatamente quanto.

Vamos comparar tanto ω b quanto ω c com ω a :

I a ω a 2 = I b ω b 2

4 3 M L 2 ω a 2 = 1 3 M L 2 ω b 2

4 3 ω a 2 = 1 3 ω b 2

4 ω a 2 = ω b 2

ω b = 2 ω a

Então, temos que ω b é maior que ω a :

ω b > ω a

Enquanto isso:

I a ω a 2 = I c ω c 2

4 3 M L 2 ω a 2 = 7 12 M L 2 ω c 2

4 3 ω a 2 = 7 12 ω c 2

ω c 2 = 16 7 ω a 2

ω c = 4 7 ω a

ω c ≈ 1,51 ω a

Então, ω c é maior que ω a , porém, menor que ω b :

ω b > ω c > ω a

Ou então:

ω a < ω c < ω b

Ficamos com a letra (E).

Resposta

Letra (E)

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