Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

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Enunciado

Uma ruela padrão tem um raio interno r i = 13,5   m m e um raio externo de r e = 31,0   m m . A ruela tem espessura de d = 4,0   m m . A densidade da liga metálica da ruela é ρ = 7,8 × 10 3   k g m - 3 .   Calcule o momento de inércia da ruela para um eixo que passa pelo seu centro e perpendicular ao plano dela.

Passo 1

Oii gente, tudo bom?

Nessa questão temos uma ruela, que é como uma coroa circular, mas que possui espessura. O raio interno dessa coroa vale:

r i = 13,5   m m

E, o raio externo vale:

r e = 31,0   m m

Além disso, a sua espessura vale d = 4,0   m m e a sua densidade vale ρ = 7,8 × 10 3   k g m - 3 .

O objetivo é que calculemos o momento de inércia da ruela com relação a um eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao seu plano.

Então pessoal, pra começar vamos dar uma revisada na definição de momento de inércia.

I = ∫ r 2 d m

onde r é a distância de cada elemento de massa d m até o eixo considerado.

Pra conseguir eliminar esse d m da jogada e resolver a integral, vamos a densidade volumétrica dada pra mudar nossa integral pra d V e depois para d r , beleza?

Vem comigo!

Passo 2

Bom, temos que resolver a integral:

I = ∫ r 2 d m

Para resolvê-la devemos usar a densidade volumétrica da ruela, que sabemos que vale:

ρ = d m d V

Assim, substituindo na integral, caímos no seguinte problema:

I = ∫ r 2 ρ d V

Show! Mas, essa integral com d V ainda não é trivial de ser calculada, então temos que tirá-la da jogada. Como a superfície plana da ruela é uma coroa circular, se tomarmos um elemento d V com espessura d = 4,0 m m e parte plana também sendo uma coroa circular, vamos ter:

d V = d ⋅ 2 π r ⋅ d r

onde:

r i ≤ r ≤ r e

Substituindo tudo isso na integral, teremos:

I = ρ ∫ r i r e r 2 d ⋅ 2 π r ⋅ d r

Colocando as constantes pra fora, ficamos com:

I = 2 π ρ d ∫ r i r e r 3 d r

= 2 π ρ d ⋅ r 4 4 r i r e

Logo:

I = 2 π ρ d ⋅ r e 4 - r i 4 4

Pelo enunciado, temos que:

ρ = 7,8 ⋅ 10 3   k g m - 3   d = 4 ⋅ 10 - 3   m r e = 31 ⋅ 10 - 3   m r i = 13,5 ⋅ 10 - 3   m

Substituindo, temos:

I = 2 π ⋅ 7,8 ⋅ 10 3 ⋅ 4 ⋅ 10 - 3 4 ⋅ 31 ⋅ 10 - 3 4 - 13,5 ⋅ 10 - 3 4

Portanto, fazendo essas continhas de cabeça (claro que não haha), temos:

I = 4,36 ⋅ 10 - 5   k g m 2

E é isso pessoal! Espero que vocês tenham curtido a solução!

Até a próxima 😊

Resposta

4,36 ⋅ 10 - 5   k g m 2

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