Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

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Enunciado

Se dois discos de mesma massa e espessura são feitos de metais de densidades

diferentes, qual deles possuirá a maior inércia rotacional em torno do seu eixo de

simetria?

Passo 1

Primeiro, vamos imaginar esses dois discos aí. Eles têm a mesma massa e a mesma espessura e densidades diferentes. Para que eles tenham a mesma massa, é necessário que o disco de menor densidade seja ‘maior’, ou seja, mais volumoso que o disco de maior densidade, correto? Pensa assim: Imagine um disco de algodão e um disco de aço, para que os dois discos tenham a mesma massa, é necessário que o disco de algodão seja bem maior que o de aço, né?

Além disso, os dois discos têm a mesma espessura. Então para que o disco de menor densidade seja mais volumoso que o de maior densidade é necessário que o seu raio seja maior, já que as espessuras são iguais. Ficaria algo mais ou menos assim:

Daonde percebemos que:

d 2 > d 1

M 1 = M 2 = M

R 1 > R 2

Passo 2

Agora a questão nos pede a relação entre os momentos de inércia desses discos. Olhando em tabela, sabemos que o momento de inércia de um disco ao redor do seu eixo de simetria é:

I = 1 2 M R 2

Utilizando essa equação para cada um dos discos teremos:

I 1 = 1 2 M ( R 1 ) ²

I 2 = 1 2 M R 2 2

E como R 1 > R 2 , teremos então que:

I 1 > I 2

Passo 3

Analisando essa resposta no ponto de vista físico, vemos que ela faz todo o sentido né??Por que os dois discos possuem a mesma massa, mas o disco de maior raio, possui massas que estão mais distantes do eixo de rotação que o disco de menor raio. E sabemos que quanto mais distante a massa estiver do eixo de rotação, maior será o momento de inércia.

Resposta

O disco de menor densidade possuirá o maior momento de inércia, pois sua massa está distribuída mais distante do eixo de rotação do que o disco de maior densidade.

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