Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 292-91

( a ) Mostre que o momento de inércia de um cilindro de massa M e raio R em relação ao eixo central é igual ao momento de inércia de um aro fino de massa M e raio R / 2 em relação ao eixo central. ( b ) Mostre que o momento de inércia I de um corpo qualquer de massa M em relação à qualquer eixo é igual ao momento de inércia de um aro equivalente em torno do mesmo eixo, se o aro tiver a mesma massa M e um raio k dado por

k = I M

O raio k do aro equivalente é chamado de raio de giração do corpo.

Passo 1

( a ) Aprendemos que o cálculo do momento de inércia de corpos extensos é feito por meio de integral, então, a primeira idéia é calcular a integral:

r 2 d m

Certo?

Desespero bateu aí né?

Relaxa que papai aqui vai te passar o bizu. O bizu do estripador.

“Estripador? Que que é isso?!”

É aquele cara que faz parte por parte, bem devagar e com calma, então vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa a se fazer é calcular o momento de inércia do aro homogêneo de massa M e raio R , em relação ao eixo central do mesmo.

Aqui podemos usar a integral, pois trata-se de uma integral simples, saca só:

I a r o = 0 M r 2 d m

No aro, todas as minipartículas que o compõem estão à mesma distância R do eixo de rotação, portanto:

I a r o = R 2 0 M d m

Podemos concluir:

I a r o = M R 2

Passo 3

Beleza! Agora, vamos calcular o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo central. Vamos considerar um elemento da forma de cilindro no interior do cilindro de massa M , raio R   e comprimento L . Esse elemento cilíndrico tem massa d m , raio r < R e altura L , como na figura abaixo.

Devemos considerar também que o cilindro possui uma densidade volumétrica γ uniforme, de forma que:

M = γ π R 2 L

d m = γ 2 π r d r L

Assim, temos que o momento de inércia do cilindro maior pode ser obtido integrando o elemento infinitesimal para r de 0 até R :

I c i l i n d r o = I c i l i n d r o   i n f = d m r 2

Substituindo d m pela expressão obtida acima:

I c i l i n d r o = 0 R γ 2 π r 3 d r L = γ 2 π R 4 L 4 = γ π R 4 L 2

Substituindo γ por M π R 2 L   :

I c i l i n d r o = M π R 2 L π R 4 L 2 = M R 2 2

Passo 4

Agora que já temos o momento de inércia do cilindro e o momento de inércia do aro em relação ao eixo central, vamos voltar ao enunciado.

O momento de inércia de um cilindro de massa M e raio R é dado por: M R 2 2

O momento de inércia de um aro de massa M e raio R   / 2 é dado por: M R 2 2 = M R 2 2

Logo, eles são iguais! :)

Passo 5

( b ) Vamos lá, estamos quase acabando!

Agora o que ele quer que a gente mostre é que o momento de inércia de um corpo de mass M em relação a qualquer eixo é igual ao momento de inércia de um aro equivalente de massa M e um raio k = I M ao redor desse mesmo eixo. Parece complicado, né? Vamos com calma!

Passo 6

Bom, já vimos que o momento de inércia de um aro em relação ao eixo central é dado por:

I a r o = M k 2

onde k é o raio. Se k é dado por I M , onde I é o momento de inércia de um corpo em relação ao mesmo eixo, temos que:

I a r o = M I M   2 = I

Logo, mostramos que o momento de inércia de um corpo qualquer em relação a um dado eixo é igual ao momento de inércia de um aro em volta desse eixo de raio I M .

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