Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

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Enunciado

Seja um corpo na forma de um quadrado de lado L composto por 4 hastes finas com massas indicadas na figura. Na figura está também indicado o sistema de coordenadas a ser utilizado. O corpo pode girar livremente sem atrito em torno do eixo X e encontra-se em repouso na posição indicada.

(a) Determine o momento de inércia rotacional I x do corpo em torno do eixo X em função dos dados do problema.

Passo 1

O momento de inércia das hastes

Caramba, como que se calcula o momento de inércia de um quadrado vazado? Parece difícil não é? Mas calma, é mais simples do que parece. Ao invés de pensarmos em um quadrado, vamos pensar em cada uma das hastes:

I x = I ┴ x +   I / / x

Ou seja, o momento de inércia total vai ser a soma do momento de inércia das hastes perpendiculares ao eixo O X e das hastes paralelas ao eixo O X

Passo 2

O momento de inércia das hastes paralelas

Desenhando somente as hastes paralelas ao eixo de rotação, vamos ter:

Para cada uma dessas hastes, o momento linear será:

I = M R 2

Onde “ R ” é a distância do centro de massa de cada uma dessas hastes para o eixo de rotação. Vamos ter então

I / / x = 2 M 0 2 + M L 2 =   M L 2

Passo 3

O momento de inércia das hastes perpendiculares

Desenhando somente as hastes perpendiculares ao eixo de rotação, vamos ter:

Para cada uma dessas hastes, o momento linear será

I = 1 3 M L 2

O momento linear perpendicular vai ser então:

I ┴ x = 1 3 M L 2 + 1 3 2 M L 2 =   M L 2

Passo 4

O momento de inércia total

Agora é só aplicar o que já sabemos. Vamos ter:

I x = I ┴ x +   I / / x

I x = M L 2 + M L 2

I x = 2 M L 2

Resposta

a) I x = 2 M L 2

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