Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

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Enunciado

Considere o carrossel, da figura abaixo, como um disco de massa M D = 130   k g e raio R = 1,00   m . As barras horizontais são finas, têm massa M H = 9,00   k g e comprimento R . As barras verticais também são finas, possuem massa M V = 4,00   k g e altura h = 0,500   m . O eixo central é constituido por um cilindro de massa e raio desprezíveis.

Dados:

Disco: I C M = 1 2 M R 2 ;

Haste: I C M = 1 12 M L 2 ;

I P = I C M + M h 2 ;

(a) Calcule o momento de inércia I C M desse carrossel em relação ao eixo central vertical (CM).

Passo 1

Eita, momento de inércia dessa figura complicada...

Calma, é só a gente separar cada elemento que fica mais fácil de calcular isso aí.

Queremos calcular o momento de inércia com relação a um eixo vertical passando no centro de carrossel:

O carrosel vai ser composto pelo disco central (base), por 5 barras verticais e por 5 barras horizontais.

Então, seu momento de inércia I C M será a soma dos momentos de inércia I de tudo isso aí:

I C M = I D + 5 I V e r t i c a l + 5 I H o r i z o n t a l

Passo 2

Vamos começar calculando o momento de inércia do disco da base do carrossel I D .

No formulário ele nos dá a expressão para o momento de inércia de um disco com relação ao eixo que passa perpendicularmente em seu centro de massa:

I C M = 1 2 M R 2

É exatamente isso que precisamos.

Então, é só aplicar essa fórmula para a massa do disco M D e seu raio R :

I D = 1 2 M D R 2

Substituindo os valores, temos:

I D = 1 2 130 1 2

I D = 65   k g . m 2

Passo 3

Vamos às barras verticais.

Como a barra é fina, seu raio é desprezível.

Então, todos os elementos de massa da barra estão a uma mesma distância do eixo central:

Logo, podemos calcular o momento de inércia com aquela mesma fórmula de momento de inércia para partículas.

A ideia é que podemos pensar na barra como vááááárias partículas à uma mesma distância do eixo de rotação. Cada uma delas tendo seu momento de inércia calculado com:

I = m d 2

A soma de todos esse momentos de inércia seria o momento de inércia da barra:

I V e r t i c a l = M V d 2

Onde d é igual ao raio do carrossel:

d = R = 1,00   m

Substituindo:

I V e r t i c a l = M V R 2

I V e r t i c a l = 4 1 2

I V e r t i c a l = 4   k g . m 2

Passo 4

Por último, temos as barras horizontais.

Essa é a mais chatinha dos três elementos, mas fique tranquilo que não é nada demais.

Sabemos calcular o momento de inércia de uma barra fina com relação a um eixo passando transversalmente pelo seu centro:

Esse seria o momento de inércia de uma haste no formulário:

I C M = 1 12 M L 2

Porém, temos que calcular o momento de inércia com relação ao eixo passando pela sua extremidade:

Então, vamos aplicar o teorema dos eixos paralelos:

I H o r i z o n t a l = I C M + M h 2

Onde h é a distância entre os eixos, correspondente a metade do comprimento da barra.

I H o r i z o n t a l = 1 12 M H L 2 + M H L 2 2

O comprimento da barra horizontal é R = 1,00   m :

I H o r i z o n t a l = 1 12 M H R 2 + M H R 2 2

I H o r i z o n t a l = 1 12 M H 1 2 + M H 1 2 2

I H o r i z o n t a l = M H 1 12 + 1 4

I H o r i z o n t a l = M H 1 3

Substituindo o valor de massa:

I H o r i z o n t a l = 9 1 3

I H o r i z o n t a l = 3   k g . m 2

Passo 5

Pronto, agora é só juntar tudo na expressão do momento de inércia total do carrossel:

I C M = I D + 5 I V e r t i c a l + 5 I H o r i z o n t a l

I C M = 65 + 5 4 + 5 3

I C M = 65 + 20 + 15

I C M = 100   k g . m 2

Resposta

(a)

I C M = 100   k g . m 2

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