Exercícios Resolvidos de Cálculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos

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Enunciado

Um objeto composto por uma haste muito fina de massa M = 4,80   k g e comprimento L = 0,500   m e um aro fino de raio R = 0,125   m e massa m = 1,28   k g é livre para girar em torno dos eixos x , y e z . A origem do eixo de coordenadas está no centro do aro e no centro da haste. Nos cálculos utilize 3 números significativos.

a) Calcule o momento de inércia do objeto em torno dos eixos x , y e z . Em torno de qual eixo é mais fácil girar o objeto?

b) O objeto do item anterior é acelerado em torno do eixo z . Partindo do repouso, no tempo t = 8,00   s ele alcança uma velocidade angular ω = 40,0   r a d / s . Determine neste instante de tempo quais são os módulos das acelerações tangencial e radial na extremidade da haste.

Passo 1

a)

Fala aí!!! Tudo beleza? Aqui a gente tem um aro com uma haste girando, e três eixos (x, y e z) ele quer saber por qual eixo é mais fácil girar!

Olha que bonito, se eu te perguntasse, ah, tenho um lápis e uma mesa, qual é mais fácil de empurrar? O lápis!!! Porque a massa dele é muito menor do que a da mesa.

Então, como a gente ta falando de rotação o momento de inércia faz o papel da massa nessa história, sacou?

Então é só a gente ver quem tem o menor momento de inércia em relação ao eixo. E então esse vai ser o eixo mais fácil!

Lembrando que temos a haste e os aros. Então temos que calcular o momento de inércia disso tudo em relação a cada eixo! Mas é tranquilão!

Mãos à obra!

Passo 2

Vamos calcular então o momento de inércia do aro em relação aos três eixos, x , y e z .

Os dados da prova são:

A gente tá falando de disco? Não. Então ignora a primeira.

O segundo é um aro com um eixo passando pelo perpendicularmente pelo centro de massa! OPA!! Isso corresponde ao nosso I z a r o ! Beleza então:

I z a r o = m R 2

Agora, na terceira figurinha, temos outro aro com eixo passando pelo diâmetro. OPA! Isso corresponde ao I x a r o e ao I y a r o .

I x a r o = m R 2 2

I y a r o = m R 2 2

Show. Acabou? NÃÃÃO! Isso foi só do aro, tem a haste ainda...

Passo 3

Agora, vamos olhar pro lado direito ali da imagem do passo 2. O momento de inércia da haste que passa pelo CM e gira em torno de um eixo perpendicular a haste é dado... Essa é a situação para os nossos eixos y e z . Então:

I y h a s t e = M L 2 1 2

I z h a s t e = M L 2 12

Maravilha...Mas o nosso I x h a s t e é diferente, certo? A haste está ao longo do eixo de rotação. Então nesse caso o momento de inércia é zero!!

I x h a s t e = 0

Passo 4

Vamos achar o momento de inércia conjunto haste e aro para cada eixo, já vou substituir os valores que ele dá pra gente:

I x = 0 + m R 2 2 = 0,01   k g m 2

I y = M L 2 12 + m R 2 2 = 0,1 1   k g m 2

I z = M L 2 12 + m R 2 = 0,1 2   k g m 2

E aí, lembra lá da nossa analogia com o lápis e a mesa? Então que é mais fácil de rodar aqui?

O I x , certo? Porque tem o menor momento de inércia.

Show de bola?

Passo 5

b)

Agora é colocou um movimento ali. Estamos rodando o objeto em torno do eixo z .

Ele parte do repouso, aí a velocidade inicial é zero.

Ele dá outra informação: t = 8,00   s   ⇒ ω = 40,0   r a d / s .

Nós queremos saber a t e a r na extremidade da haste.

Show!! Acompanha comigo

Passo 6

Como a gente tá rodando o objeto, as nossas equações de movimento são as equações da cinemática angular:

ω = ω 0 + α t

Mas ele parte do repouso:

ω = 0 + α t

Vamos usar agora a informação que ele deu:

40 = 0 + α 8

Então:

α = 5   r a d / s 2

Beleza!

Mas ele quer a t e a r na extremidade da haste

Suaveeeee.. Vem comigo:

A relação entre a aceleração angular ( α ), e linear, que é a tangencial ( a = a t ) é:

a = α R

Onde esse R é o raio do movimento, que nosso caso é metade da barra:

R = L 2

Então:

a t = a = α L 2 = 1,25 m s 2

Show!

Só falta a aceleração na direção radial! Qual que é essa aceleração??

A nossa boa e velha aceleração centrípeta!

a r = a c e n t r i p e t a

a c e n t r i p e t a = V 2 R

Como temos informação a respeito do ω , e sabemos que:

V = ω R

a c e n t r i p e t a = V 2 R = ω 2 R

Lembrando que esse R é metade do comprimento da barra, então, substituindo os valores:

a c e n t r i p e t a = ω 2 L 2 = 400   m / s 2

Maravilha! Por hoje é tudo pessoal!

Resposta

a)   I x

b)

α = 5   r a d / s 2

a t = 1,25 m s 2

a r = 400   m / s 2

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