Exercícios Resolvidos de Centros e Centróides

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Enunciado

02) Calcule a coordenada y do centroide da figura abaixo:

Passo 1

Eaí galerinha! Como vocês estão?

Nessa questão nos é pedido para calcular a coordenada y do centroide, ou seja, o centro geométrico de uma área plana.

O que é importante a gente perceber é justamente o formato dessa área, que não é uma figura geométrica simples. Nesses casos, a principal ideia que usamos é um raciocínio pelo princípio da superposição, tentando gerar essa área através de áreas conhecidas, como círculos, semicírculos, triângulos e retângulos.

Então bora fazer isso fechando esses triângulos debaixo, como também o semicírculo.

Observando a figura acima, conseguimos perceber os dois triângulos verdes e círculo vermelho que adicionamos. Isso foi muito bom, porque agora temos apenas figuras geométricas que conhecemos os respectivos centroides.

Passo 2

Beleza! Vamos então calcular qual seria o centroide dessa figura que geramos completando a imagem do enunciado. A ideia é fazer:

y 1 C G ⋅ A t o t a l = y 1 ⋅ A 1 + y 2 ⋅ A 2 + y 3 ⋅ A 3 + y 4 ⋅ A 4  

Vamos calcular separadamente cada um desses termos:

- Figura 1:

De resultados já conhecidos (que para esse caso clássico vale a pena decorar, pois não é tão simples, temos que a coordenada y do centroide de um semicírculo, vale:

y = 4 R 3 π

O raio R pode ser calculado como metade do diâmetro, que pode ser visto na figura do enunciado como:

D = 0,2 + 0,25 + 0,2 = 0,65 ⇒ R = 0,65 2 = 0,325 m  

Levando em consideração a origem do nosso plano cartesiano, bem como o valor do raio desse semicírculo, temos que:

y 1 = 0,2 + 4 ⋅ 0,325 3 ⋅ π = 0,34 m  

Já a área 1, é a área de um semicírculo. Logo:

A 1 = π R 2 2 = 0,166   m 2

Excelente, bora pra próxima.

- Figura 2:

Aqui temos um quadrado. A posição do seu centroide é bem conhecida né galera? O centro geométrico de um quadrado obedece à simetria, logo:

y 2 = L 2 = 0,1   m

Massa. Já a sua área vale:

A 2 = L 2 = 0,2 2 = 0,04   m 2  

- Figura 3:

Nesse caso, temos um retângulo, cujo centroide também se encontra na meta da sua altura. Logo:

y 3 = y 2 = 0,1   m

Já para o cálculo da sua área, temos:

A 3 = 0,2 ⋅ 0,25 = 0,05   m 2

- Figura 4:

Por último, mas não menos importante, precisamos calcular y 4 e A 4 . O legal é que essa figura é idêntica à figura 2, assim:

y 4 = y 2 = 0,1   m

A 4 = A 2 = 0,04   m 2

Por último: A t o t a l = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 = 0,166 + 0,04 + 0,05 + 0,04 = 0 , 296   m 2

Beleza, agora é só substituir na nossa expressão pro CG, daí fica:

y 1 C G = 1 0 , 296 ⋅ 0,34 ⋅ 0,166 + 0,1 ⋅ 0,04 + 0,1 ⋅ 0,05 + 0,1 ⋅ 0,04 = 0,235   m    

Aee, conseguimos determinar o centro geométrico dessa figura mais completa.

Passo 3

Pra conseguir calcular o y C G da figura do enunciado podemos usar o princípio da superposição, fazendo algo tipo isso:

Mas para os valores dos produtos y C G ⋅ A de cada uma dessas figuras.

Para o primeiro termo, já calculamos e encontramos:

y 1 C G = 0,235

A t o t a l = 0,296   m 2

Já o C G   do círculo está bem no centro dele, considerando o nosso plano cartesiano, temos:

y 2 C G = 0,2   m

A 2 t o t a l = 0,008   m 2

Por último, para o triângulo o CG se localiza no baricentro, que vai estar a uma altura H / 3   do lado base. Logo:

y 3 C G = 0,067   m

A 3 t o t a l = 0,2 ⋅ 0,2 2 = 0,02   m 2

Prontoo, podemos escrever então que:

y C G ⋅ ( A t o t a l - A 2 t o t a l - 2 A 3 t o t a l ) = y 1 C G A t o t a l   -   y 2 C G A 2 t o t a l - 2 ⋅ y 3 C G A 3 t o t a l

y C G = 0,235 ⋅ 0,296 - 0,2 ⋅ 0,008 - 2 ⋅ 0,067 ⋅ 0,02 0,296 - 0,008 -   2 ⋅ 0,02

Por fim, nós finalmente encontramos que:

y C G = 0,263   m = 263   m m

Ufa, matamos mais uma. Essa questão foi bem interessante né? Trabalhou bem os conceitos de centroide e também a ideia do princípio da superposição. Espero que vocês tenham entendido direitinho, até a próxima pessoal!!!

Resposta

y C G = 0,263   m = 263   m m

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A barra esbelta homogênea tem uma seção transversal uniforme e está dobrada na forma mostrada. Calcule a coordenada y do centro de massa da barra. (Lembrete: O comprimento do arco diferencial é d L =
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Localize o centro de massa do corpo sólido homogêneo cujo volume é determinado pela revolução da área sombreada de 360° em torno do eixo z.
Specify the x-, y-, and z-coordinates of the mass center of the homogeneous semicylinder.