Exercícios Resolvidos de Centros e Centróides

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 188, 5/35

Calcule a distância h - medida desde a base até o centróide do volume do cone truncado.

Passo 1

Vamos desenhar um esquema do cone:

Repare que a orientação de z aponta para baixo.

Depois voltaremos para ele. Vamos agora calcular o volume.

Para isso vamos criar um círculo de raio y e espessura infinitesimal d z :

d V = π y 2 d z

Agora, para se calcular y , temos que escrever uma função y em função de z .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Note que o contorno do cone é uma reta. Vamos girar a figura para facilitar a visualização:

Perceba que y cresce conforme z cresce, sendo r o y m á x , e 0 o y m í n .

Assim, sendo:

y = a z + b

Para z = 0 , temos que y = 0 :

y = a z + b       →           0 = a . 0 + b

b = 0

E quando z = h , temos que y = r :

y = a z       →         r =   a h

a = r h

Assim:

y = a z +   b         →         y = r h z

Passo 3

Show de bola. Agora podemos calcular o volume, sabendo que d V = π y 2 d z e que   y = r h z :

V = ∫ d V       →           V = ∫ π y 2 d z      

V = ∫ h 2 h π r h z 2 d z

Obs: Perceba que o limite inferior é h 2 pois se trata de um tronco de cone que começa em y = h 2 e termina em y = h .

Resolvendo esta integral, temos que:

V = ∫ h 2 h π r 2 h 2 z 2 d z         →             V = π r 2 h 2 z 3 3 | h 2 h

Aplicando os limites:

V = 7 π r 2 h 24

Passo 4

Para calcular z - , temos que aplicar:

z - = ∫ z d V V

Temos que calcular ∫ z d V , sabendo que d V = π y 2 d z e que   y = r h z , então:

∫ z d V = ∫ h 2 h z π r h z 2 d z

∫ z d V = ∫ h 2 h z 3 π r 2 h 2 d z

∫ z d V = π r 2 h 2 ∫ h 2 h z 3 d z

∫ z d V = π r 2 h 2 z 4 4 | h 2 h

∫ z d V = 15 64 π r 2 h 2

Passo 5

Assim:

z - = ∫ z d V V

z - = 15 64 π r 2 h 2 7 π r 2 h 24

z - = 45 56 h

E como ele tá pedindo a altura da base até o centroide:

h - 45 56 h = 11 56 h

Resposta

11 56 h

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