Exercícios Resolvidos de Centros e Centróides

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Enunciado

01) No sistema em equilíbrio mostrado na figura, a placa homogênea OABCD, de massa m , está no plano O x z e tem seu movimento restrito pelos anéis nos pontos O e A, e pela articulação em D que une a placa às barras ED e HD. A barra ED é paralela ao eixo O y e a barra HD é paralela ao eixo O z . Ambas as barras têm comprimento a e peso desprezível. Sobre a placa atuam a força F → ,   C =   - F j ^   e o peso P → ,   G =   - m g k ^ . Determinar:

a) As coordenadas do centro de massa G da placa no sistema O x y z .

b) O diagrama de corpo livre da placa.

c) As equações de equilíbrio da placa.

d) Os esforços atuantes na barra ED.

e) As reações vinculares nos pontos A e O .

Passo 1

Faaala galerinha, tudo certo com vocês?

a) Pra começar mais uma questãozinha de mecânica, precisamos determinar a coordenada do centro de massa G da nossa plaquinha. Mesmo que não houvesse um item pedindo explicitamente o CM, esse passo é bem importante pra gente saber onde que atua a força peso.

Beleza, e como a gente faz isso?

O segredo, basicamente é lembrar da equação do centro de massa. Em x , por exemplo:

x C M ⋅ m p l a c a = x 1 ⋅ m 1 + x 2 ⋅ m 2

Como a placa é homogênea, essa equação se reduz a:

x C M ⋅ ( A 1 + A 2 ) = x 1 ⋅ A 1 + x 2 ⋅ A 2

Além disso, lembrar de separar a placa em figuras geométricas conhecidas (retângulos, quadrados, triângulos, circunferências).

Top, vamos então separar a nossa plaquinha em um quadrado (OACD) e em um triângulo (ABC):

Como a parte 1 é um quadrado, pela simetria sabemos que:

x 1 = a 2

z 1 = - a 2

Cuja área vale:

A 1 = a 2

Já para a figura 2, como trata-se de um triângulo que é simétrico em relação à reta x = a 2 , temos:

x 2 = a 2

Também, como o baricentro fica a uma distância de 1 / 3 da altura relativa a AC, temos:

z 2 = - a + 1 3 ⋅ a 2 =   - 7 a 6

E com área:

A 2 = a 2 4

Excelente! Agora que já determinamos x 1 ,   z 1 ,   A 1 ,   x 2 ,   z 2 ,   A 2   é só substituir na nossa equação do centro de massa. Ficamos com:

x C M ⋅ a 2 + a 2 4 = a 2 a 2 + a 2 a 2 4

∴ x C M = a 2

z C M ⋅ a 2 + a 2 4 =   - a 2 a 2 +   - 7 a 6 a 2 4

∴ z C M 5 a 2 4 =   - 19 a 3 24 ⇒ z C M =   - 19 a 30

Para terminar, como trata-se de uma placa plana em O x z , vale que y C M = 0 .

Prontinho! Temos que:

G = a 2 ,   0 ,   - 19 a 30

Passo 2

b) Aqui precisamos desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) da placa. O problema é que além das forças já faladas no enunciado, também temos as reações dos apoios (articulação em D e anéis em O e A).

Em D, temos duas barras presas a essa articulação. Na prática é como se cada uma delas estivessem puxando (ou empurrando) o ponto D.

Já nos anéis, por se tratar de um apoio do 2° gênero, vamos ter duas forças de reação sendo geradas: uma em O x e outra em O y .

Massa! Supondo um sentido inicial para essas forças, podemos desenhar o seguinte DCL:

Passo 3

c) Nesse item devemos escrever as equações de equilíbrio da placa, mas que equações são essas?

Primeiro galera, se a placa está em equilíbrio é porque tanto a resultante de forças, R → , como a resultante dos momentos em relação qualquer ponto, M → O por exemplo, são nulas. Daí, como temos três eixos, podemos escrever a equação de equilíbrio para cada um deles:

R → = 0 ∴   ∑ F x = 0 ⇒ X A + X O = 0 ∑ F Y = 0 ⇒ Y A + Y O + F E D - F = 0 ∑ F Z = 0 ⇒   - m g - F H D = 0

M → O = 0 ∴   ∑ M x = 0 ⇒ Y a ⋅ a - F ⋅ a = 0 ∑ M Y = 0 ⇒ F H D ⋅ a - X a ⋅ a + m g ⋅ a 2 = 0 ∑ M Z = 0 ⇒ F E D ⋅ a - F ⋅ a = 0

Prontinho 😊

Passo 4

d) Aqui devemos calcular os esforços atuantes na barra ED. No caso, a barra ED se conecta à placa através da articulação em D, e nós já calculamos a reação que a barra faz em D, F E D . Logo, pela lei da ação e reação, o ponto D faz uma força de igual intensidade, F E D , mas de sentido oposto na barra ED.

Do equilíbrio ∑ M Z = 0 , podemos escrever que:

F E D = F

Como está no sentido oposto ao do DCL desenhado no item b, temos:

F E D = F   (compressão)

Muito bom! Bora pro último item!

Passo 5

e) Nesse item o enunciado nos pede para calcular as reações vinculares em A e O , ou seja, as reações de apoio. Basicamente é olhar o sistema linear formado pelas equações de equilíbrio do item c, e meter conta Rs.

Então bora lá! De ∑ F Y = 0 , considerando também o resultado do item anterior, temos:

Y O =   - Y A

Mas de ∑ M x = 0 , vale que:

Y A = F ∴ Y O =   - F

Boa! Indo para as reações em O x , de ∑ F x = 0 , vem:

X O =   - X A

Já de ∑ M Y = 0 , ficamos com:

X A = F H D + m g 2

Beleza, é só determinar F H D . De ∑ F Z = 0 , temos:

F H D =   - m g

Daí:

X A = - m g + m g 2 =   - m g 2

Logo:

X O = m g 2

Ufaaa, só pra deixar organizadinho temos:

R → A = - m g 2 i ^ + F j ^

R → O = m g 2 i ^ - F j ^

Aeee, terminamos! Bora pra próxima gente, espero vocês lá!

Resposta

a)

G = a 2 ,   0 ,   - 19 a 30

b) Resolução no texto.

c) Resolução no texto.

d)

F E D = F   (compressão)

e)

R → A = - m g 2 i ^ + F j ^

R → O = m g 2 i ^ - F j ^

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