Exercícios Resolvidos de Centros e Centróides

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 184, 5/7

Determine a coordenada y do centróide da área sob a curva senoidal mostrada.

Dica: ∫ s e n 2 x = - 1 4 s e n 2 x + x 2 + c  

Passo 1

Vamos usar aqui novamente a nossa relação:

y - = ∫ y d A A

y - . A = ∫ y d A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nós podemos começar calculando a área A :

A = ∫ d A

Mas quem é d A ? d A vale:

d A = y d x

Mas sabemos a equação da curva:

y = a s e n π x b

Substituindo isso na equação de d A , temos que:

d A = y d x         →           d A = a s e n π x b d x

Então, sabendo que x varia de zero até b , a área fica:

A = ∫ d A         →           A = ∫ 0 b a s e n π x b d x

A = - a b π cos ⁡ π x b | 0 b

Aplicando os limites 0   até   b :

A = - a b π cos ⁡ π b b + a b π cos ⁡ 0

A = 2 a b π

Passo 3

Agora vamos calcular a parte de cima da equação de y - :

∫ y d A

Perceba que y , nesse caso, se refere à distância vertical do centroide de cada retângulo que criamos até o eixo horizontal.

Então:

y = y 2 = a 2 s e n π x b

Lembrando que d A = a s e n π x b d x , então podemos escrever:

∫ y d A = ∫ a 2 s e n π x b a s e n π x b d x

O intervalo de integração de y vai de zero até b , então:

∫ y d A = ∫ 0 b a 2 2 s e n 2 π x b d x

Aplicando a dica que foi dada no enunciado da questão:

∫ 0 b a 2 2 s e n 2 π x b d x = a 2 2 ∫ 0 b s e n 2 π x b d x = a 2 2 - b 4 π s e n 2 π x b + x 2 0 b

Aqui eu usei a fórmula:

s e n 2 π x b = 1 - cos ⁡ 2 π x b 2

Assim:

∫ 0 b a 2 2 s e n 2 π x b d x = a 2 2 - b 4 π s e n 2 π + b 4 π s e n 0 + b 2 - 0 2

a 2 2 b 2 = a 2 b 4

Passo 4

Por fim, só aplicar:

y - = ∫ y d A A           →             y - = a 2 b 4 2 a b π

y - = π a 8

Resposta

y - = π a 8

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas