Exercícios Resolvidos de Centros e Centróides

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 188, 5/211

O corpo afilado tem uma seção transversal horizontal circular. Determine a altura h - de seu centro de massa, acima da base do sólido homogêneo.

Passo 1

Neste exercício queremos achar o centro de massa, então vamos usar essa fórmula aqui:

x - = ∫ x   d m m

Para isso, temos que definir o que será o nosso d m . Mas para isso você precisa lembrar que o cálculo da massa m de um corpo que tem uma massa específica ρ é:

m = ρ V

Onde V é o volume do corpo. Se derivarmos ambos os lados dessa equação, vamos ter que:

m = ρ V         →         d m = ρ d V

Então, o que precisamos definir na nossa figura é um elemento de volume d V . Para isso, vamos criar cilindros de espessura infinitesimal. Vendo de frente nossa figura fica assim:

Repare que y é a equação da reta que limita o lado direito da nossa figura.

Mas estamos criando cilindros de espessura bem pequena, assim:

Então, o volume deste cilindro fica assim:

V = π r 2 h

Onde h é a altura e r é o raio. Mas como temos uma espessura bem pequena, nosso volume será bem pequeno também:

d V = π r 2 d x       →         d V = π 2 R - y 2 2 d x

Agora vamos substituir d V na nossa equação de d m :

d m = ρ d V       →         d m = ρ π 2 R - y 2 2 d x

Elevando o termo de dentro dos parênteses ao quadrado, temos:

d m = ρ π 2 R - y 2 2 d x     →     d m = ρ π 4 R 2 - 4 R y + y 2 4 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nosso próximo passo é achar a equação da reta que limita o lado direito da nossa figura. Para isso, sabemos que uma equação da reta genérica tem o seguinte formato:

y = a x + b

E quando x = 0 temos que y = 0 , então a nossa equação fica:

y = a x + b     →       0 = a ( 0 ) + b

b = 0

E quando x = H temos que y = 2 R - R e agora a nossa equação fica:

y = a x   →     2 R - R = a H

a = R H

Então, a equação da reta fica:

y = a x + b     →         y = R H x

Passo 3

Agora vamos substituir a equação da reta que acabamos de achar na nossa equação de d m :

d m = ρ π 4 R 2 - 4 R y + y 2 4 d x       →         d m = ρ π 4 R 2 - 4 R R H x + R H x 2 4 d x      

d m = ρ π 4 R 2 - 4 R 2 x H + R 2 x 2 H 2 4 d x

Vamos colocar R 2 4 para fora dos parênteses:

d m = π ρ R 2 4 4 - 4 x H + x 2 H 2 d x

Passo 4

Agora vamos achar a massa do nosso corpo e para isso temos que resolver a integral:

m = ∫ d m       →         m = ∫ π ρ R 2 4 4 - 4 x H + x 2 H 2 d x

Como π ρ R 2 4 é constante vamos passá-lo para fora da integral. E sabemos que x varia de 0 até H , então:

m = π ρ R 2 4 ∫ 0 H 4 - 4 x H + x 2 H 2 d x

Vamos dividir isso e três integrais para facilitar:

m = π ρ R 2 4 ∫ 0 H 4   d x - ∫ 0 H 4 x H d x + ∫ 0 H x 2 H 2 d x

Resolvendo estas integrais, temos que:

m = π ρ R 2 4 4 x - 4 x 2 2 H + x 3 3 H 2 | 0 H

m = 7 12 π ρ R 2 H

Passo 5

Agora vamos achar o termo de cima na nossa equação:

x - = ∫ x   d m m

Repare que o x de dentro da integral é a distância do centroide do cilindro que criamos até o eixo horizontal:

Ou seja, vamos calcular ∫ x   d m :

∫ x   d m = ∫ ( x ) π ρ R 2 4 4 - 4 x H + x 2 H 2 d x

Vamos passar o termo que é constante para fora da integral:

∫ x   d m = π ρ R 2 4 ∫ ( x ) 4 - 4 x H + x 2 H 2 d x

∫ x   d m = π ρ R 2 4 ∫ 4 x - 4 x 2 H + x 3 H 2 d x

Vamos separar em três integrais sabendo que x varia de 0 até H :

∫ x   d m = π ρ R 2 4 ∫ 0 H 4 x   d x - ∫ 0 H 4 x 2 H d x + ∫ 0 H x 3 H 2 d x

∫ x   d m = π ρ R 2 4 2 x 2 - 4 x 3 3 H + x 4 4 H 2 | 0 H

∫ x   d m = 11 48 π ρ R 2 H 2

Passo 6

Pronto, agora é só substituirmos na fórmula para achar a coordenada de x - :

x - = ∫ x   d m m       →         x - = 11 48 π ρ R 2 H 2 7 12 π ρ R 2 H

x - = 11 28 H

Então, a altura h - do centro de massa do sólido é:

h - = 11 28 H

Resposta

h - = 11 28 H

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