Exercícios Resolvidos de Centros e Centróides

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 184, 5/6

Determine as coordenadas do centróide da área sombreada.

Passo 1

Legal, o nosso primeiro passo é descobrir quem é k .

Para isso, perceba que para y = a , temos x = b , então vamos pegar a equação da curva e substituir isso nela:

x = k y 2       →         b = k a 2

k = b a 2

Assim, a equação da curva pode ser escrita assim:

x = b a 2 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular a área da região sombreada, vamos calcular a área a partir de retângulos horizontais infinitesimais, que tem a base igual a x e altura igual a d y , como mostrado:

Observe que a área de cada retângulo é dada por:

d A = x d y

Dessa forma vamos ter a área da figura como a integral desses retângulos:

A = ∫ d A

A = ∫ x d y

Sabendo que x é:

x = b a 2 y 2

Vamos substituir isso dentro da nossa integral e resolver sabendo que y varia de zero até a :

A = ∫ 0 a b a 2 y 2 d y

A = b a 2 y 3 3 | 0 a

A = 1 3 a b

Agora que temos a área vamos achar os centroides, lembrando que temos de achar o centroide para ambos os eixos e isso pode ser feito através das seguintes equações:

x - = ∫ x   d A A        

y - = ∫ y   d A A        

Passo 3

Agora vamos achar o x - . Para isso, usamos:

x - = ∫ x   d A A        

O x dentro desta integral indica a distância horizontal de cada retângulo infinitesimal que criamos até o nosso eixo, assim:

Isso porque sabemos que o centróide de um retângulo fica na metade do seu comprimento. Então, vamos ter que:

x - = ∫ x 2 d A A

E d A = x d y ficamos então com:

x - = ∫ x 2 d A A           →             x - = ∫ x 2 x d y A

Vamos resolver só a parte de cima da equação, para não ficar confuso:

∫ x 2 x d y = ∫ x 2 2 d y      

Lembrando que x = b a 2 y 2 , então:

          ∫ 0 a 1 2 b a 2 y 2 2 d y

b 2 2 a 4 ∫ 0 a y 4 d y = b 2 2 a 4 y 5 5 | 0 a

b 2 2 a 4 a 5 5 = b 2 a 10

Pronto, achamos a parte de cima da nossa equação:

x - = ∫ x   d A A             →             x - = b 2 a 10 1 3 a b

x - = 3 b 10

Passo 4

Agora vamos calcular y - :

y - = ∫ y d A A

O y é a distância vertical de cada retângulo infinitesimal até o eixo horizontal.

Sabendo que d A = x d y e x = b a 2 y 2 , temos que:

y - = ∫ y d A A           →             y - = ∫ y x d y A

y - = ∫ y b a 2 y 2 d y A

Vamos novamente resolver só a parte de cima da equação e sabendo que y varia de zero até a , temos:

∫ y x d y = ∫ 0 a y . b a 2 y 2 d y

∫ 0 a b a 2 y 3 d y = b a 2 ∫ 0 a y 3 d y

b a 2 y 4 4 | 0 a = b a 2 a 4 4 = a 2 b 4

Pronto, agora podemos achar y - sabendo que já calculamos a área desta figura no p a s s o   1 :

y - = ∫ y d A A           →             y - = a 2 b 4 1 3 a b

y - = 3 a 4

Resposta

x - = 3 b 10

y - = 3 a 4

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