Exercícios Resolvidos de Centros e Centróides

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Enunciado

02) O sistema ilustrado na figura abaixo é constituído por uma placa homogênea A B C D E F , de massa m , e por uma barra B H , de massa desprezível. A placa é articulada à barra em B , sendo ligada a uma parede plana vertical (plano x z ) por meio de uma articulação em A e um anel em F . A barra B H pertence ao plano y z e é ligada à parede vertical por meio de uma articulação em H . Pede-se:

a) determinar a posição do centro de massa da placa A B C D E F ;

b) desenhar os diagramas de corpo livre da placa e da barra;

c) calcular as reações na articulação A e no anel F ;

d) calcular as forças na barra B H .

Passo 1

E aí gente, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos um sistema em equilíbrio estático, composto por uma placa e uma barra, que se ligam a duas articulações.

a) Pra começar, devemos determinar a posição do centro de massa da placa A B C D E F .

O problema é que nossa plaquinha não é uma figura geométrica clássica, que conhecemos o centro geométrico loro de cara, como um quadrado, círculo, triângulo. Então, o que podemos fazer?

A ideia é imaginarmos a placa como a superposição de duas figuras:

1 ) Um quadrado de lado 2 a e densidade igual a da placa

2 ) Um quadrado de lado a e densidade negativa.

Assim, temos que:

A p l a c a ⋅ x C M = A 1 ⋅ X 1 c m + A 2 ⋅ X 2 c m

Sacou?!

Agora é só calcular esses termos.

Como a figura 1 é um retângulo, temos o centro de massa no seu centro geométrico. Logo:

A 1 c m = 2 a 2

x 1 c m = a

y 1 c m = a

Já para a figura 2 , temos a densidade negativa. Assim:

A 2 c m = - a 2

x 2 c m = a + a 2

y 2 c m = a + a 2

Além disso, a área da placa vale:

A p l a c a = A 1 - A 2

A p l a c a = 2 a 2 - a 2

A p l a c a = 3 a 2

Substituindo na nossa equação, tanto para x como para y , temos:

3 a 2 ⋅ x c m = 2 a 2 ⋅ a -   a 2 ⋅ 3 a 2

3 a 2 ⋅ x c m = 4 a 3 - 3 a 3 2

x c m = 5 a 6

Massa! Agora para y , vem:

3 a 2 ⋅ y c m = 4 a 2 ⋅ a - a 2 ⋅ 3 a 2

3 a 2 y c m = 4 a 3 - 3 a 3 2

∴ y c m = 5 a 6

Boua!! E z c m , o que dá pra afirmar?

Bom, poderíamos usar a mesma equação, mas não é necessário. Como a placa está toda no plano z = 0 , podemos afirmar que:

z c m = 0

Juntando todas essas informações, o ponto G do centro de massa vale:

G = x c m ,   y c m ,   z c m

G = 5 a 6 , 5 a 6 ,   0

Prontinho 😊

A primeira parte já foi!

Passo 2

b) Nesse item devemos desenhar o diagrama de corpo livre DCL da placa e da barra.

O bizu pra DCL é sempre começar identificando as forças que agem no corpo.

Na barra B H , como ela está articulada nos dois nós, B e H , é como as barras de treliça, lembra? Atua uma força axial. Assim:

Agora para a placa, temos as reações em cada um dos apoios. Em A , temos um apoio do 3° gênero, logo há reações nos 3 eixos. Em F , temos um apoio do 2 ° gênero, com reações em dois eixos z e y .

Por fim, em B vamos ter a reação da força F B H , puxando a placa na direção axial da barra B H .

Não podemos esquecer também da força peso, agindo em G , tá galera?

Passo 3

c) Devemos calcular as reações no anel em F e na articulação em A .

Pra fazer isso, não tem muito pra onde correr, sabemos que o sistema está em equilíbrio estático. Esse fato, nos dá duas equações:

R → = 0 M → = 0

Bora começar calculando a resultante de forças da placa.

R → = Z → A + Y → A + X → A + Z → F + Y → F + P → + F → B H

Logo:

R → = Z A k → + Y A j → + X A i → + Y F j → + Z F k → - P k → + F B H - 2 2 j → + 2 2 k → = 0

Top! Como essa é uma equação vetorial, dela podemos tirar 3 equações escalares:

X A = 0 Y A + Y F - 2 F B H 2 = 0 Z A + Z F - P + 2 F B H 2 = 0

Agora, vamos calcular o momento em relação ao ponto A (é uma boa escolher esse ponto pois é onde temos o maior número de forças sendo aplicadas).

M → A = F - A × Y F j → + Z F k → + G - A × - P k → + B - A × - F B H 2 2 j → + F B H 2 2 k → = 0

Lembrando que:

F - A = 2 a i → G - A = 5 6 a i → + 5 6 a j → B - A = 2 a j →

Substituindo na equação do momento, temos:

2 a i → × Y F j → + Z F k → + 5 6 a i → + 5 6 a j → × - P k → + 2 a j → × - F B H 2 2 j → + F B H 2 2 k → = 0

⇒ 2 a Y F k → +   - 2 a Z F j → + 5 6 a P j → - 5 6 P a i → + F B H a 2 i → = 0

Massa! Temos novamente uma equação vetorial, dela podemos tirar 3 equações escalares:

2 F B H a - 5 6 P a = 0 5 6 P a - 2 a Z F = 0 2 a Y F = 0

Bouaaa! Temos 6 equações e 6 variáveis ( X A ,   Y A ,   Y F ,   Z A ,   Z F ,   F B H ) .

Passo 4

Agora é só resolver o sisteminha que encontramos:

X A = 0       ( I ) Y A + Y F - 2 F B H 2 = 0       ( I I ) Z A + Z F - P + 2 F B H 2 = 0       ( I I I ) 2 F B H a - 5 6 P a = 0       ( I V ) 5 6 P a - 2 a Z F = 0       ( V ) 2 a Y F = 0         ( V I )

De ( V I ) , vem:

Y F = 0

De ( V ) , temos:

Z F = 5 P 12

De ( I V ) , temos:

2 F B H a = 5 P a 6

F B H = 5 2 P 12  

De ( I I ) , temos:

Y A + 0 = 2 F B H 2

∴ Y A = 2 2 ⋅ 5 2 P 12

Y A = 5 P 12

Por último, de ( I I I ) , temos:

Z A = P - Z F - 2 2 F B H

⇒ Z A = P - 5 P 12 - 5 P 12

∴ Z A = P 6

Prontinho! Matamos o sistema 😊

Logo, a reação na articulação em A   vale:

R → A = X A i → + Y A j → + Z A k →

⇒ R → A = 5 P 12 j → + P 6 k →  

Já a reação no anel, vale:

R → F = Y F j → + Z F k →

⇒ R → F = 5 P 12 k →

Aeee, finalmente né hahaha

Passo 5

d) Pra encerrar devemos determinar o valor de F B H .

Mas, pelo próprio sistema que resolvemos anteriormente, temos:

F B H = 5 2 P 12   (tração)

E é isso galera, espero que vocês tenham entendido bem!

Vamo aproveitar o embalo e já ir pra próxima 😊

Resposta

a) G = 5 a 6 , 5 a 6 ,   0

b) Resolução no texto.

c)

R → F = 5 P 12 k →

R → A = 5 P 12 j → + P 6 k →

d)

F B H = 5 2 P 12   (tração)

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