Exercícios Resolvidos de Centros e Centróides

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 188, 5/36

Determine a coordenada x do centro de massa da casca esférica, que tem espessura uniforme, mas fina.

Passo 1

Podemos representar a esfera por uma imagem bidimensional da mesma:

Perceba que, para uma pequena variação d θ , existe uma pequena área superficial relacionada.

Agora vamos começar a pensar em termos de massa: uma quantidade infinitesimal de massa será dada por:

d m = ρ d A = ρ ( R d θ ) ( 2 π y )

Perceba que R d θ é a espessura da “fatia” infinitesimal da esfera e que 2 π y é a circunferência.

Opa, mas veja só isso: de acordo com o nosso desenho, podemos escrever: y = R s e n θ , né?

Então:

d m = ρ R d θ 2 π R s e n θ = 2 π ρ R 2 s e n θ d θ

Show de bola, agora já sabemos que temos que integrar isso daí pra conseguirmos a massa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, vamos integra isso em θ :

m = ∫ 2 π ρ R 2 s e n θ d θ

Mas qual é o intervalo de integração? Bom, o ângulo varia desde zero até o ângulo final que gera aquele espacinho de R 4 .

Esse ângulo final pode ser calculado pela tangente do triângulo final formado:

Quanto vale o cosseno desse ângulo?

c o s θ = R 4 R = 1 4             →         θ = cos - 1   ⁡ 1 4

Assim:

m = ∫ 0 cos - 1 ⁡ 1 4 2 π ρ R 2 s e n θ d θ

m = 2 π ρ R 2 - c o s θ | 0 cos - 1 ⁡ 1 4

m = 1,5 π ρ R 2

Show?

Agora já podemos aplicar:

x - = ∫ x d m ∫ d m

Passo 3

Analogamente ao que fizemos com y , podemos escrever x na forma:

x = R c o s θ

Então:

∫ x d m = ∫ 0 cos - 1 ⁡ 1 4 x 2 π ρ R 2 s e n θ d θ

∫ x d m = ∫ 0 cos - 1 ⁡ 1 4 R c o s θ 2 π ρ R 2 s e n θ d θ

∫ x d m = ∫ 0 cos - 1 ⁡ 1 4 π ρ R 3 ( 2 s e n θ c o s θ ) d θ

Lembrando que:

s e n 2 θ = 2 s e n θ c o s θ :

Podemos escrever:

∫ x d m = ∫ 0 cos - 1 ⁡ 1 4 π ρ R 3 s e n 2 θ d θ

Integrando:

∫ x d m = π ρ R 3 - 1 2 cos ⁡ 2 θ 0 cos - 1 ⁡ 1 4

∫ x d m = 15 16 π ρ R 3

Passo 4

Aplicando a nossa equação de x - :

x - = ∫ x d m ∫ d m

x - = 15 16 π ρ R 3 1,5 π ρ R 2

x - = 5 8 R

Resposta

x - = 5 8 R

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