Exercícios Resolvidos de Centros e Centróides

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 184, 5/29

Localize o centróide da área sombreada entre as duas curvas.

Passo 1

Em primeiro lugar, vamos escrever ambas as equações em função de x . A primeira já está:

y = x 3 4

E a segunda equação fica assim:

x = y 2 2         →       y = 2 x

Show de bola?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular a área da figura:

Perceba que a área vai ser o somatório tendendo ao infinito, ou seja, uma integral, dos pequenos retângulos. A área de cada retângulo, por sua vez, é dada por:

d A = y d x

Mas o limite superior do retângulo é dado pela equação y = 2 x e o limite inferior pela equação y = x 3 4 , então podemos escrever que y é a diferença entre as funções:

d A = 2 x - x 3 4 d x

Como x varia de zero até 2 , podemos dizer que a área é:

A = ∫ d A       →       ∫ 0 2 2 x - x 3 4 d x

A = 2 2 3 x 3 2 - x 4 16 | 0 2

Assim:

A = 2 2 3 x 3 2 - x 4 16 | 0 2           →       A = 5 3

Agora podemos usar as duas relações abaixo:

x - = ∫ x d A A

y - = ∫ ( y d A ) A

Passo 3

Vamos então calcular primeiro ∫ x d A .

O x dessa equação, no caso, é o próprio x , já que a distância de cada retângulo infinitesimal até a origem é justamente x :

Lembrando que d A = 2 x - x 3 4 d x , então:

∫ x d A = ∫ 0 2 x 2 x - x 3 4 d x

Resolvendo isso, temos que:

∫ 0 2 x 2 x - x 3 4 d x = 2 2 5 x 5 2 - x 5 20 | 0 2 = 8 5

Passo 4

Agora vamos calcular ∫ y d A :

Como estamos lidando agora com a componente vertical, cada y vai ser a média das funções:

y = y 1 + y 2 2 = 1 2 2 x + x 3 4

Assim:

∫ y d A = ∫ 0 2 y 1 + y 2 2 d A

E sabemos que d A = 2 x - x 3 4 d x , então:

∫ y d A = ∫ 0 2 1 2 2 x + x 3 4 2 x - x 3 4 d x

Lembra disso aqui:

a + b . a - b = a 2 - b 2

Vamos usar isso para os termos dentro da integral:

Ficamos com isso aqui:

∫ y d A = ∫ 0 2 1 2 2 x - x 6 16 d x

∫ y d A = ∫ 0 2 x - x 6 32 d x = x 2 2 - x 7 224 | 0 2

∫ y d A = 10 7

Passo 5

Pronto! Agora é só aplicar:

x - = ∫ x d A A

x - = 8 5 5 3         →       x - = 24 25

E:

y - = ∫ ( y d A ) A

y - = 10 7 5 3         →         y - = 30 35 = 6 7

Resposta

x - = 24 25

y - = 6 7

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas