Exercícios Resolvidos de Centros e Centróides

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 188, 5/205

Determine as coordenadas x e y do centróide da área sombreada.

Passo 1

Estamos procurando as coordenadas x -   e   y -   da área da figura. Uma das equações nós sabemos:

y = k x 1 3

Quanto vale k ? Sabemos que quando x = 1 o valor de y também é 1 , então vamos substituir isso na nossa equação:

y = k x 1 3       →       1 = k 1 1 3

k = 1

Dessa maneira, ficamos com esta equação aqui:

y = x 1 3

Mas e a equação da reta? Vamos ter que descobrir... Sabemos que uma equação da reta genérica tem a seguinte equação:

y = a x + b

E que quando x = 1 temos que y = 1 , então vamos substituir isso na nossa equação genérica:

y = a x + b       →           1 = a ( 1 ) + b

E perceba também que quando x = 0,5 temos que y = 0 , vamos substituir isso novamente na nossa equação genérica:

y = a x + b       →           0 = a ( 0,5 ) + b

b = - 0,5 a

Agora temos um sistema:

1 = a + b b = - 0,5 a

Como sabemos que b = - 0,5 a , vamos substituir isso na primeira equação do sistema:

1 = a + b     →           1 = a + ( - 0,5 a )

a = 2

E b vai valer:

b = - 0,5 a       →         b = - 1

Então, a equação da reta fica:

y = a x + b       →           y = 2 x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar o y - , vamos usar as equações em função de y já que assim vai ficar mais fácil:

y = 2 x - 1           →             x 1 = y + 1 2

E:

y = x 1 3             →             x 2 = y 3

Vamos criar retângulos para fazer a integração de modo que d A será:

d A = x 1 - x 2 d y

Passo 3

Vamos começar calculando a área da região sombreada. A área que está entre as duas curvas acima vai ser dada por:

A = ∫ 0 1 d A         →         A = ∫ 0 1 x 1 - x 2 d y

Sabendo que y varia de 0 até 1 , vamos ter que:

A = ∫ 0 1 y 2 + 1 2 - y 3 d y

Podemos dividir isso em três integrais para facilitar a resolução:

A = ∫ 0 1 y 2 d y + ∫ 0 1 1 2 d y - ∫ 0 1 y 3 d y

A = y 2 4 + y 2 - y 4 4 | 0 1

A = 1 2

Passo 4

Agora vamos resolver o termo de cima na nossa equação de y - :

y - = ∫ y d A A

O y dentro da integral é a distância do centróide de cada retângulo até o eixo horizontal:

Sabendo que:

d A = x 1 - x 2 d y       →       d A = y 2 + 1 2 - y 3 d y

d A = y 2 + 1 2 - y 3 d y

Então, ∫ y d A será:

∫ y d A = ∫ 0 1 y y 2 + 1 2 - y 3 d y

∫ y d A = ∫ 0 1 y 2 2 + y 2 - y 4 d y

Separando em três integrais, vamos ter que:

∫ y d A = ∫ 0 1 y 2 2 d y + ∫ 0 1 y 2 d y - ∫ 0 1 y 4 d y

∫ y d A =   y 3 6 + y 2 4 - y 5 5 0 1 = 13 60

Então, a nossa coordenada y - será:

y - = ∫ y d A A         →           y - = 13 60 1 2

y - = 13 30

Passo 5

Vamos calcular agora a coordenada x - . Para isso, vamos calcular o termo de cima da fórmula:

x - = ∫ x d A A

O x dentro da integral é a distância do centróide do retângulo que criamos para integrar até o eixo vertical. Essa distância é a média entre as duas funções, assim:

Vamos ter que ∫ x d A será:

∫ x d A = ∫ 0 1 x 1 + x 2 2 d A

Sabendo que d A continua o mesmo:

d A = x 1 - x 2 d y      

Então:

∫ x d A = ∫ 0 1 x 1 + x 2 2 x 1 - x 2 d y      

∫ 0 1 x 1 + x 2 2 x 1 - x 2 d y = ∫ 0 1 1 2 x 1 2 - x 2 2 d y

Repare que usamos a propriedade que diz que:

a + b a - b = a 2 - b 2

Substituindo as funções de x 1 e x 2 , temos que:

∫ 0 1 1 2 x 1 2 - x 2 2 d y = 1 2 ∫ 0 1 y + 1 2 2 - y 3 2 d y

1 2 ∫ 0 1 y 2 4 + y 2 + 1 4 - y 6 d y

1 2 y 3 12 + y 2 4 + y 4 - y 7 7 | 0 1

∫ x d A = 37 168

Agora sim podemos calcular a coordenada x - :

x - = ∫ x d A A         →           x - = 37 168 1 2

x - = 37 84

Resposta

x - = 37 84

y - = 13 30

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