Exercícios Resolvidos de Centros e Centróides

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 188, 5/22

Determine a coordenada y do centroide da área sombreada.

Passo 1

Vamos começar definindo as funções:

x = k y 2

Para x = a temos que   y = b , então:

x = k y 2         →           a = k b 2

k = a b 2

Substituindo o valor de k na equação da curva, vamos ter que:

x = k y 2       →         x = a b 2 y 2

Isolando y , vamos ter que:

y = x 1 2 b a 1 2       →         y = b x a 1 2

A outra função é uma reta:

y = m x + n

Para x = 0   temos que y = b , então:

y = m x + n         →         b = n

Para x = a temos que y = 2 b , então:

2 b = m a + b       →         m = b a

Então ficamos com:

y = m x + n         →         y = b a x + b

y = b 1 + x a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A área será dada por:

A =   ∫ d A         →         A = ∫ 0 a y 2 - y 1 d x

Repare que o elemento d A é dada pela diferença entre as duas funções, assim:

Então:

A = ∫ 0 a   b 1 + x a - b x a 1 2   d x

A = b x + x 2 2 a - b a 2 3 x 3 2 | 0 a

A = 5 6 a b

Passo 3

Agora vamos calcular a coordenada de y - :

y - = ∫ y d A A

Como já calculamos a área, vamos calcular agora o termo ∫ y d A :

Pra calcular o   y que aparece dentro da integral, temos que usar sempre o y = y 2 + y 1 2 , que é a média entre as funções:

∫ y d A = ∫ 0 a y 1 + y 2 2 d A

Sabendo que d A = y 2 - y 1 d x , temos que:

∫ 0 a y 1 + y 2 2 y 2 - y 1 d x

��� y d A = 1 2 ∫ 0 a y 2 2 - y 1 2 d x

Resolvendo esta integral, temos::

1 2 ∫ 0 a y 2 2 - y 1 2 d x = 1 2 ∫ 0 a ( b 2 1 + x a 2 - b 2 a x ) d x

= 1 2 b 2 x + x 2 a + x 3 3 a 2 - b 2 x 2 2 a | 0 a = 11 12 a b 2

Então, a coordenada y - é:

y - = ∫ y c d A ∫ d A       →         y - = 11 12 a b 2 5 6 a b

y - = 11 10 b

Resposta

y - = 11 10 b

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas