Exercícios Resolvidos de Circuitos de Mais de uma Malha

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Enunciado

No circuito da figura abaixo, temos uma bateria de força eletromotriz (f.e.m) ε ligada a três resistores de resistências R , R / 2 e 2 R e a um capacitor de capacitância C que inicialmente (isto é, em t = 0 ) está descarregado. A chave S é fechada em t = 0 .

  1. Calcule os valores das correntes i 1 , i 2 e i 3 logo após o fechamento da chave (ou seja, no instante t = 0 ).
  2. Calcule os valores das correntes elétricas i 1 , i 2 e i 3 muito tempo após o fechamento da chave (ou seja, quando t → ∞ ).

Passo 1

a) De acordo com o enunciado, o capacitor começa descarregado, ou seja, em t = 0 a carga inicial Q 0 dele é zero. Como a ddp através do capacitor é V 0 = Q 0 C , então, V 0 = 0 em t = 0 .

Apesar de V 0 = 0 em t = 0 , a corrente i 3 t = 0 ≠ 0 e, como V 0 = 0 no capacitor, a corrente que passa nele não encontra resistência alguma. A gente pode dizer, por isso, que nesse caso, em t = 0 , o capacitor é “como um fio sem resistência”: passa uma corrente por ele, mas não há queda de potencial. Resta vermos como ficam as correntes...

Vamos desenhar o circuito como se ele não tivesse o capacitor (já que estamos olhando o instante t = 0 ), como na figura abaixo.

O que temos agora são dois resistores em paralelo, cujo resistência equivalente R P está em série com o resistor R . Vamos encontrar, primeiro, R P :

1 R P = 1 R 2 + 1 2 R     ⇒   R P = 2 R 5   .

Esse resistor equivalente R P está em série com R , de acordo com a figura abaixo.

Como R P está em série com R , então a resistência equivalente total R T será

R T = R + 2 R 5     ⇒   R T = 7 R 5   .

Passo 2

a) Continuação...

Uma vez que encontramos a resistência equivalente R T do circuito para t = 0 , então a corrente total i 1 que passa através de R T nesse instante inicial será dada por

ε = R T i 1     ⇒     i 1 = 5 ε 7 R   .

Além disso, sabemos que no nó a , temos

  i 1 = i 2 + i 3 .

Agora, como os resistores R / 2 e 2 R estão em paralelo, eles estão à mesma diferença de potencial V a b , o que permite a gente escrever o seguinte

V a b = R 2 i 2 = 2 R i 3     ⇒   i 3 = i 2 4   ,

que, substituindo em i 1 , dá

i 1 = i 2 + i 2 4 = 5 ε 7 R   ⇒   i 2 = 4 ε 7 R   .

Portanto, temos também que

i 3 = i 2 4 = ε 7 R   .

Passo 3

b) Para um tempo muito grande, ou seja, t → + ∞ , o capacitor estará totalmente carregado, porém não passará mais nenhuma corrente por ele, o que significa que a corrente i 3 será

i 3 t → + ∞ = 0   .  

Por isso, nesse caso temos os resistores R e R / 2 em série, como está na figura abaixo, e também teremos que i 1 ( t → + ∞ ) = i 2 ( t → + ∞ ) = i .

A resistência equivalente nesse instante de tempo será R T = R + R 2 = 3 R / 2   . Portanto, a corrente será

ε = R T i   ⇒   i = 2 ε 3 R   .

Resposta

  1. t = 0 :     i 1 = 5 ε 7 R     ;     i 2 = 4 i 1 5 = 4 ε 7 R     ;     i 3 = i 2 4 = ε 7 R     ;
  2. t = + ∞ :       i 1 = i 2 = 2 ε 3 R       ;     i 3 = 0   .

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