Exercícios Resolvidos de Circuitos de Mais de uma Malha

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Enunciado

A figura abaixo consiste de duas fontes (geradores) ideais e cinco resistores, cujos valores das respectivas forças eletromotrizes e resistências elétricas estão indicadas na figura. Para tal situação, calcule:

  1. As correntes elétricas que fluem entre os pontos: i   a e f , i i   b e e , e i i i   c e d .
  2. As potências transferidas pelas duas fontes ideais.
  3. A potência dissipada no resistor de resistência 3   Ω localizado entre os pontos e e d .

Passo 1

Para resolvermos essa questão, vamos primeiro encontrar a resistência equivalente entre os pontos e e d na figura. Como esses resistores estão em paralelo, já que estão à mesma diferença de potencial, a resistência equivalente será:

1 R e q = 1 3 + 1 6 ⇒ R e q = 2   Ω .

Agora, vamos escolher (isso mesmo, você escolhe!!) os sentidos para as correntes e para as malhas. As malhas I e I I foram escolhidas no sentido horário e as correntes i e i 2 também no sentido horário, como desenhamos na figura abaixo. A corrente i 1 fluindo do ponto b para o ponto e .

Uma vez que fizemos isso, vamos calcular os valores dessas correntes. Segue comigo aqui...

Passo 2

a) Neste passo, vamos encontrar os valores das correntes...

Nesse circuito, temos apenas dois nós, os pontos b e e . Aplicando a lei dos nós para o ponto b , temos:

N ó   b :     i = i 1 + i 2   .

Agora, vamos aplicar a lei das malhas para as malhas I e I I :

M a l h a   I : 18 - 12 i - 6 i = 0 ⇒ 3 - 2 i - i 1 = 0   .

Para te ajudar a se lembrar de como utilizar a lei das malhas (“soma das ddp’s igual a zero”) que usamos para obter a equação acima, colocamos os seguintes passos:

  1. Como i passa no o sentido do polo para o + da fonte de 18   V , então o primeiro termo é: + 18   V ;
  2. Como a corrente i no resistor de 12   Ω está no mesmo sentido da malha I , então há uma queda de potencial nesse resistor, por isso, acrescentamos o termo: - 12   i ;
  3. No resistor de 6   Ω passa a corrente i 1 no mesmo sentido da malha I , por isso, há uma queda de potencial nesse resistor e temos que adicionar o termo: - 6 i 1 .

Aplicando a ideia desses passos para a malha I I , temos a seguinte equação:

M a l h a   I I :   + 21 - 2 i 2 + 6 i 1 - 3 i 2 = 0 ⇒ 21 - 5 i 2 + 6 i 1 = 0   .

Das malhas I e I I , obtemos, respectivamente, as seguintes expressões:

i = 3 - i 1 2     ;     i 2 = 6 i 1 + 21 5   .

Substituindo isso na expressão que temos do nó b :

3 - i 1 2 = i 1 + 6 i 1 + 21 5   ⇒ 15 - 5 i 1 = 10 i 1 + 12 i 1 + 42   ,

que simplificada, resulta em:

i 1 = - 1   A   .

Esse sinal negativo significa que sentido correto da corrente i 1 é o oposto ao indicado na figura.

Agora, para resolvermos o resto do sistema e encontrarmos i e i 2 , mantemos o sinal negativo que encontramos para a corrente i 1 , ok? Usando esse valor para corrente, encontramos que

i 2 = 6 i 1 + 21 5 = 6 - 1 + 21 5 ⇒ i 2 = 3   A  

e

i = 3 - i 1 2 = 3 - - 1 2 ⇒ i = 2   A .  

Passo 3

b) Continuando, agora podemos calcular as potências que cada uma das fontes de 18   V e 21   V   transferem para o circuito.

A fonte de 18   V transfere:

P 18   V = 18 i = 18 × 2 ⇒ P 18   V = 36   W   .

A fonte de 21   V transfere:

P 21   V = 21 i 2 = 21 × 3 ⇒ P 21   V = 63   W .

Passo 4

c) A corrente que passa no resistor R e q = 2   Ω é i 2 = 3   A . Por isso, a ddp V e d entre os pontos e e d do circuito é:

V e d = R e q i 2 = 2 × 3 ⇒ V e d = 6   V .

Essa é a diferença de potencial para cada um dos resistores de 3   Ω e 6   Ω da associação em paralelo. Por isso, a corrente que passa no resistor de 3   Ω é:

I 3   Ω = V e d 3 ⇒ I 3   Ω = 2   A .

A potência, então, que é dissipada nesse resistor é de:

P D i s s = R I 3   Ω 2 ⇒ P D i s s = 3 × 2 2 = 12   W   .

Resposta

  1. i 1 = - 1   A   ; i 2 = 3   A   ; i = 2 A   ;
  2. P 18 V = 36   W   ; P 21 V = 63   W   ;  
  3. P D i s s = 12   W .

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