Exercícios Resolvidos de Circuitos de Mais de uma Malha

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 193-46.

Na figura abaixo, um conjunto de n resistores em paralelo é ligado em série a um resistor e a uma fonte ideal. Todos os resistores têm a mesma resistência.

Se um outro resistor de mesmo valor fosse ligado em paralelo com esse conjunto, a corrente na fonte variaria de 1,25 % .

Qual é o valor de n ?

Passo 1

Beleza, vamos começar encontrando uma expressão para a corrente i na fonte. Depois, nós vamos adicionar mais um resistor a esse arranjo, calcular a nova corrente i ' e comparar as duas.

Beleza?

Então partiu!

Pra calcular a corrente na fonte, utilizamos a Lei de Ohm para a resistência equivalente do circuito.

V = R e q i

Para calcular a resistência equivalente, vamos começar pelo arranjo que n resistores em paralelo.

1 R e q 1 = 1 R + 1 R + … + 1 R

Como se tratam de n resistores, nós teremos n termos no lado direito da igualdade acima. Logo:

1 R e q 1 = n R

R e q 1 = R n

Por fim, a resistência equivalente do sistema será:

R e q = R + R e q 1

R e q = R + R n

R e q = n R + R n

R e q = R n + 1 n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Com a resistência equivalente calculada, a corrente na fonte será dada por:

i = V R

i = V R n + 1 n

i = n R n + 1 V

Passo 3

Show! Agora vamos adicionar mais um resistor ao arranjo de resistores em paralelo e calcular a nova corrente i ' .

Seguindo o mesmo raciocínio que usamos anteriormente:

1 R ' e q 1 = 1 R + 1 R + … + 1 R

Agora, como temos n + 1 resistores, teremos n + 1 termos no lado direito da igualdade.

1 R e q 1 ' = n + 1 R

R e q 1 ' = R n + 1

Assim, a resistência equivalente do circuito será:

R ' e q = R + R e q 1 '

R e q ' = R + R n + 1

R e q ' = R n + 1 + R n + 1

R e q ' = R n + 2 n + 1

Passo 4

Agora, a nova corrente i ' na fonte será:

i ' = V R e q '

i ' = n + 1 R n + 2 V

Passo 5

O problema falou que, quando adicionamos mais um resistor ao arranjo de n resistores, a diferença de corrente é de 1,25 % . Logo:

i ' - i = 0,0125 i

Agora vamos substituir tudo, arrumar e ver se conseguimos resolver a nossa vida aqui.

n + 1 R n + 2 V - n R n + 1 V = 0,0125 n R n + 1 V

Logo de cara, pra simplificar isso aqui, podemos sumir com todos os V ' s nos numeradores de com os R ' s dos denominadores.

n + 1 n + 2 - n n + 1 = 0,0125 n n + 1

n + 1 n + 2 = 0,0125 n n + 1 + n n + 1

n + 1 n + 2 = 1,0125 n n + 1

n + 1 2 = 1,0125 n n + 2

n 2 + 2 n + 1 = 1,0125 n 2 + 2,025 n

0,0125 n 2 + 0,025 n - 1 = 0

Antes de você ficar tenso porque tem um monte de número com vírgula e calcular os valores de n vai ser um saco, tem um jeito de tentar simplificar um pouco isso aqui.

Pra começar, vamos multiplicar todos os termos por 10000 pra sumir com as vírgulas:

125 n 2 + 250 n - 10000 = 0

Agora podemos dividir todos os termos por 125 que é o máximo divisor comum a todos esses caras:

n 2 + 2 n - 80 = 0

Agora só temos que encontrar a solução dessa equação de segundo grau usando Bhaskara.

n = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

n = - 2 ± 2 2 - 4 × 1 × ( - 80 ) 2

Resolvendo isso, vamos achar 2 valores de n .

n = 8 - 10

Só que o valor de n não pode ser negativo. Logo:

n = 8

Resposta

n = 8

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