Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

Passo 1

A diferencial de uma função é dada por

d X 0 f = ∑ J X 0 ∙ d X

Ou seja, o somatório dos produtos das derivadas parciais da função em relação as suas variáveis X com seus respectivos valores de d X .

Passo 2

Vamos então calcular a matriz de derivadas dessa função:

J f = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y

∂ f 1 ∂ x = 1 2 y + x 2 - 1 2 ∙ 2 x = x y + x 2

∂ f 1 ∂ y = 1 2 y + x 2 - 1 2 ∙ 1 = 1 2 y + x 2

Assim,

J f ( X ) = x y + x 2 1 2 y + x 2

Em X 0 = - 1 2 , 0 :

J f ( X 0 ) = - 1 2 0 + - 1 2 2 1 2 0 + - 1 2 2

J f ( X 0 ) = - 1 1

Passo 3

Agora falta só calcularmos o nosso d X , que nada mais é que a variação no vetor X quando saímos de X e vamos para X 0 , assim

d X = X - X 0

d X = x y - - 1 2 0

d X = x + 1 2 y - 0

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da diferencial:

d f = - 1 1 ∙ x + 1 2 y - 0

d f = - x - 1 2 + y

Resposta

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