Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

Passo 1

A diferencial de uma função é dada por

d X 0 f = ∑ J f X 0 ∙ d X

Ou seja, o somatório dos produtos das derivadas parciais da função em relação as suas variáveis X com seus respectivos valores de d X .

Passo 2

Vamos então calcular a matriz de derivadas dessa função:

J F = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z ∂ f 3 ∂ x ∂ f 3 ∂ y ∂ f 3 ∂ z

J F = 2 x - 2 y 0 2 x 0 2 z 1 1 - 1

Em x 0 , y 0 , z 0 = 1,0 , - 1 :

J F = 2 0 0 2 0 - 2 1 1 - 1

Passo 3

Agora falta só calcularmos o nosso d X , que nada mais é que a variação no vetor X quando saímos de X e vamos para X 0 , assim

d X = X - X 0

d X = x y z - 1 0 - 1

d X = x - 1 y - 0 z + 1

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da diferencial:

d X 0 f = 2 0 0 2 0 - 2 1 1 - 1 ∙ x - 1 y - 0 z + 1

d X 0 f = 2 x - 2 2 x - 2 z - 4 x + y - z - 2

Resposta

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