Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

Sejam γ : R → R 3 ,   g :   R 3 → R ² diferenciáveis e f x , y = 2 x e x y 2 - x 2 + y definida em todo R ² . Sobre γ   e   g se sabe que:

γ - 2 = 3,1 , - 3                                       γ 0 = - 3,3 , 1                                                       γ 2 = ( 1 , - 3,3 )

D γ - 2 = 2 1 - 2                                         D γ 0 = 1 - 2 2                                           D γ - 2 = 2 1 - 2

g 1 , - 3,3 = 1,2                                       g 3,1 , - 3 = 2,0                                                       g - 3,3 , 1 = ( 0,1 )

D g 1 , - 3,3 = 2 3 1 1 2 3                   D g 3,1 , - 3 = 3 1 0 2 3 1                       D g - 3 , 3 , 1 = 1 2 3 3 1 0    

Considere a composta F x , y = g   o   γ   o   f x , y = g γ f x , y

  1. Estime o valor de F em x = 1,8   e   y = 0,3 .

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para resolvermos o nosso exercício, vamos precisar usar a nossa fórmula de Aproximação Linear:

A X = F X 0 + F ' X 0 X - X 0

Lembrando que o nosso X 0 é um ponto próximo do que foi pedido do enunciado, que foi x = 1,8   e   y = 0,3 . Então vamos dizer que:

X 0 = 2,0

Na letra (a), foi encontrado também que:

F 2,0 = ( 0,1 )

D F 2,0 = - 6 3 - 6 3

Com todas essas informações, já podemos calcular.

Passo 2

Vamos calcular:

A X = F X 0 + F ' X 0 X - X 0

X 0 = 2,0

F 2,0 = ( 0,1 )

D F 2,0 = - 6 3 - 6 3

Substituindo:

A X = ( 0,1 ) + - 6 3 - 6 3 x - 2 y - 0

A X = 0 1 + - 6 x + 12 + 3 y - 6 x + 12 + 3 y  

A X = - 6 x + 12 + 3 y - 6 x + 12 + 3 y + 1  

Porém, no enunciado, ele pede:

X = ( 1,8 ,   0,3 )

Então:

A X = - 10,8 + 12 + 0,9 - 10,8 + 12 + 0,9 + 1  

A X = 2,1 3 , 1  

Resposta

A X = 2,1 3,1  

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