Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

Sejam γ : R → R 3 ,   g :   R 3 → R ² diferenciáveis e f x , y = 2 x e x y 2 - x 2 + y definida em todo R ² . Sobre γ   e   g se sabe que:

γ - 2 = 3,1 , - 3                                       γ 0 = - 3,3 , 1                                                       γ 2 = ( 1 , - 3,3 )

D γ - 2 = 2 1 - 2                                         D γ 0 = 1 - 2 2                                           D γ - 2 = 2 1 - 2

g 1 , - 3,3 = 1,2                       ��               g 3,1 , - 3 = 2,0                                                       g - 3,3 , 1 = ( 0,1 )

D g 1 , - 3,3 = 2 3 1 1 2 3                   D g 3,1 , - 3 = 3 1 0 2 3 1                       D g - 3 , 3 , 1 = 1 2 3 3 1 0    

Considere a composta F x , y = g   o   γ   o   f x , y = g γ f x , y

  1. Determine a matriz jacobiana D F no ponto x , y = 2,0 .

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Bom, para resolvermos a matriz jacobiana DF no ponto pedido, primeiro a gente precisa interpretar qual seria a nossa F

Pelo enunciado:

F x , y = g   o   γ   o   f x , y = g γ f x , y

Reparem que temos aqui uma função composta, então como seria a ideia de uma matriz jacobiana para uma função composta? Se a gente pegar um exemplo genérico, seria:

D w   o   h x , y = D w h x , y × D h ( x , y )

Show, se a gente for aplicar a mesma ideia pra do enunciado, vamos ter:

D F x , y = D g   o   γ   o   f x , y = D g γ f x , y × D γ f x , y × D f ( x , y )

Ok, já temos a nossa estrutura, agora vamos calcular o valor de cada função no ponto pedido do enunciado.

Passo 2

Vamos lá, o enunciado pede o seguinte ponto:

x , y = ( 2,0 )

Reparem que a gente tem a seguinte função composta:

F x , y = g   o   γ   o   f x , y = g γ f x , y

E também temos a função do nosso enunciado:

f x , y = 2 x e x y 2 - x 2 + y

Vamos aplicar o ponto na nossa f :

f 2 , 0 = 2 2 e 2 0 2 - 2 2 + 0 = 4 e 0 - 4 + 0

f 2,0 = 4 - 4 + 0 = 0

Se a gente substituir na nossa formula composta:

F 2 , 0 = g   o   γ   o   f 2 , 0 = g γ f 2 , 0

F 2,0 = g   o   γ   o   f 2,0 = g γ 0

E se a gente aplicar a mesma ideia para a matriz jacobina que queremos do Passo 1:

D F x , y = D g   o   γ   o   f x , y = D g γ f x , y × D γ f x , y × D f ( x , y )

D F 2 , 0 = D g   o   γ   o   f 2 , 0 = D g γ f 2 , 0 × D γ f 2 , 0 × D f ( 2,0 )

D F 2,0 = D g   o   γ   o   f 2,0 = D g γ 0 × D γ 0 × D f ( 2,0 )

Show, agora precisamos ir atrás do valor de γ 0 .

Passo 3

Beleza, agora vamos atrás do γ 0 . Para nossa sorte, o valor é dado no enunciado:

γ 0 = - 3,3 , 1

Se a gente substituir no valor da F :

F 2,0 = g   o   γ   o   f 2,0 = g γ 0

F 2,0 = g   o   γ   o   f 2,0 = g - 3,3 , 1

Agora se a gente substituir no valor da nossa matriz jacobiana:

D F 2,0 = D g   o �� γ   o   f 2,0 = D g γ 0 × D γ 0 × D f ( 2,0 )

D F 2,0 = D g   o   γ   o   f 2,0 = D g - 3,3 , 1 × D γ 0 × D f ( 2,0 )

Passo 4

Show galera, já temos a fórmula da nossa matriz jacobiana:

D F 2,0 = D g   o   γ   o   f 2,0 = D g - 3,3 , 1 × D γ 0 × D f ( 2,0 )

Para nossa sorte, o enunciado já nos deu quase todos os valores:

D g - 3,3 , 1 = 1 2 3 3 1 0

D γ 0 = 1 - 2 2

Substituindo:

D F 2,0 = D g   o   γ   o   f 2,0 = 1 2 3 3 1 0 × 1 - 2 2 × D f ( 2,0 )

O enunciado não nos deu a jacobiana de f . Então vamos ter que calcular:

D f x , y = d f d x   d f d y

f x , y = 2 x e x y 2 - x 2 + y

Derivando:

d f d x = 2 e x y 2 + 2 x e x y 2 y 2 - 2 x

d f d y = 2 x e x y 2 2 x y + 1

Substituindo o valor do ponto ( 2,0 ) :

d f d x 2,0 = 2 e 2 0 2 + 2 2 e 2 0 2 0 2 - 2 2 = 2 + 0 - 4 = - 2

d f d y 2,0 = 2 x e x y 2 2 x y + 1 = 2 2 e 2 0 2 2 2 0 + 1 = 1

Substituindo na Jacobiana:

D f 2 , 0 = - 2   1

Substituindo na fórmula geral:

D F 2,0 = D g   o   γ   o   f 2,0 = 1 2 3 3 1 0 × 1 - 2 2 × D f ( 2,0 )

D F 2,0 = D g   o   γ   o   f 2,0 = 1 2 3 3 1 0 × 1 - 2 2 × ( - 2   1 )

Vamos calcular o produto das 2 primeiras matrizes:

1 2 3 3 1 0 × 1 - 2 2 = 1 - 4 + 6 3 - 2 + 2

1 2 3 3 1 0 × 1 - 2 2 = 3 3

Logo:

D F 2,0 = D g   o   γ   o   f 2,0 = 3 3 × ( - 2   1 )

D F 2,0 = D g   o   γ   o   f 2,0 = - 6 3 - 6 3

Resposta

D F 2,0 = D g   o   γ   o   f 2,0 = - 6 3 - 6 3

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