Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

Seja g : R ² → R de classe C 3 , sobre a qual se sabe que g 1,3 = 5   e   g 2 , - 1 = - 2 .

Considere agora sua função gradiente G : R ² → R ² definida como:

G x , y = ∇ g x , y = f x ( x , y ) f y ( x , y )  

Sobre G se sabe (sendo D ( x 0 , y 0 ) G a matriz jacobiana de G no ponto ( x 0 , y 0 ) ) :

G 1,3 = - 2 0                                                         G 2,1 = 1 3

D ( 1,3 ) G = - 1 2 2 - 4                                                 D ( 1,3 ) G = 0 3 3 2

Qual a classe de diferenciabilidade ( C n ) você pode garantir para G ?

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Vamos lá, para resolver esse exercício, precisamos do início do nosso enunciado:

" S e j a   g : R ² → R   d e   c l a s s e   C 3 ,   s o b r e … "  

Ok, mas o que isso significa? Quando o enunciado nos diz que a nossa função é de classe C³, isso significa que ela consegue ser derivada até 3 vezes e a terceira derivada dela é contínua. Ok?

Passo 2

Agora, reparem em mais um detalhe do enunciado:

G x , y = ∇ g x , y = f x ( x , y ) f y ( x , y )  

Aqui diz que a nossa função G é igual ao gradiente da g , ou seja, é igual a primeira derivada da nossa g.

Como a gente viu antes, a nossa g consegue ser derivada até a 3ª, então a gente pode afirmar sobre a nossa G :

3 - 1 = 2

Logo, podemos garantir que ela é de Classe C²

Resposta

C l a s s e   C ²

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