Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo, em seguida, calcule a matriz Jacobiana dessas funções.

d) f x , y = cos ⁡ x y

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função abaixo:

f x , y = cos ⁡ x y

Lembrando que a derivada parcial é a derivada com respeito a uma daquelas variáveis, com as outras variáveis mantidas constantes.

A questão também dos pede a matriz jacobiana da função.

Lembrando que a matriz Jacobiana para duas variáveis e uma função é dada por:

J = ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Então... fazendo as derivadas parciais de primeira relação a x , temos:

∂ f ∂ x = - y sin ⁡ x y

Para a derivada de segunda ordem, temos:

  • Em relação a x :
  • f x x = - y 2 cos ⁡ x y

  • Em relação a y (aplicando a regra do produto):
  • f x y = - sin ⁡ x y - x y cos ⁡ x y

    Agora, calculando a derivada de primeira ordem em relação a y :

    ∂ f ∂ y = - x sin ⁡ x y

    Para a derivada de segunda ordem, temos:

  • Em relação a x :
  • f y x = - sin ⁡ x y - x y cos ⁡ x y

  • Em relação a y :

f y y = - x 2 cos ⁡ x y

Passo 3

Por fim, fazendo a matriz Jacobiana, obtemos:

J = ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∴

J = - y sin ⁡ x y - x sin ⁡ x y

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∂ f ∂ x = - y sin ⁡ x y

f x x = - y 2 cos ⁡ x y

f x y = - sin ⁡ x y - x y cos ⁡ x y

∂ f ∂ y = - x sin ⁡ x y

f y x = - sin ⁡ x y - x y cos ⁡ x y

f y y = - x 2 cos ⁡ x y

J = - y sin ⁡ x y - x sin ⁡ x y

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