Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

Passo 1

A diferencial de uma função é dada por

d X 0 f = ∑ J f X 0 ∙ d X

Ou seja, o somatório dos produtos das derivadas parciais da função em relação as suas variáveis X com seus respectivos valores de d X .

Passo 2

Vamos então calcular a matriz de derivadas dessa função:

J f =   ∂ f 1 ∂ u ∂ f 1 ∂ v ∂ f 2 ∂ u ∂ f 2 ∂ v

∂ f 1 ∂ u = cos ⁡ 2 v

∂ f 1 ∂ v = - 2 u sen ⁡ 2 v

∂ f 2 ∂ u = sen ⁡ 2 v

∂ f 2 ∂ v = 2 u cos ⁡ 2 v

Assim,

J f =   cos ⁡ 2 v - 2 u sen ⁡ 2 v sen ⁡ 2 v 2 u cos ⁡ 2 v

Em X 0 = 2 , π 2 :

J f 2 , π 2 =   cos ⁡ 2 . π 2 - 2 . 2 sen ⁡ 2 . π 2 sen ⁡ 2 . π 2 2 . 2 cos ⁡ 2 . π 2

J f 2 , π 2 =   - 1 0 0 - 4

Passo 3

Agora falta só calcularmos o nosso d X , que nada mais é que a variação no vetor X quando saímos de X e vamos para X 0 , assim

d X = X - X 0

d X = u v - 2 π 2

d X = u - 2 v - π 2

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da diferencial:

d X 0 f =   - 1 0 0 - 4 ∙ u - 2 v - π 2

d f = 2 - u 2 π - 4 v

Resposta

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