Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

Passo 1

A diferencial de uma função é dada por

d X 0 f = ∑ J f X 0 ∙ d X

Ou seja, o somatório dos produtos das derivadas parciais da função em relação as suas variáveis X com seus respectivos valores de d X .

Passo 2

Vamos então calcular a matriz de derivadas dessa função:

J F = ∂ f 1 ∂ ρ ∂ f 1 ∂ θ ∂ f 1 ∂ ϕ ∂ f 2 ∂ ρ ∂ f 2 ∂ θ ∂ f 2 ∂ ϕ

J F = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ - ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ

Em ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 = 1 , 3 π 2 , π 2 :

J F = cos ⁡ 3 π 2 sen ⁡ π 2 - 1 sen ⁡ 3 π 2 sen ⁡ π 2 1 cos ⁡ 3 π 2 cos ⁡ π 2 sen ⁡ 3 π 2 sen ⁡ π 2 1 cos ⁡ 3 π 2 sen ⁡ π 2 1 sen ⁡ 3 π 2 cos ⁡ π 2

J F = 0 1 0 - 1 0 0

Passo 3

Agora falta só calcularmos o nosso d X , que nada mais é que a variação no vetor X quando saímos de X e vamos para X 0 , assim

d X = X - X 0

d X = ρ θ ϕ - 1 3 π 2 π 2

d X = ρ - 1 θ - 3 π 2 ϕ - π 2

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da diferencial:

d X 0 f = 0 1 0 - 1 0 0 ∙ ρ - 1 θ - 3 π 2 ϕ - π 2

d X 0 f = θ - 3 π 2 -   ρ + 1

Resposta

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