Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

(2) Encontre o módulo do Jacobiano J u ,   v = ∂ x ,   y / ∂ u ,   v na mudança de variáveis u = x 2 - y 2 , v = x + y .

  1. 1 2 v
  2. 2 v
  3. 2 u + 2 v
  4. 1 2 u + 2 v
  5. u 2 - v 2

Passo 1

Bem, o problema quer que encontremos o Jacobiano em termos de u e v pedido, teríamos que lembrar que:

J u ,   v = ∂ x ,   y ∂ u ,   v = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Porém, a gente não tem x em função de u e v , muito menos o y ( u ,   v ) . O que temos é o inverso:

u = x 2 - y 2

v = x + y .

Porém não tem problema algum! Pois a gente pode muito bem calcular o Jacobiano Inverso, J ( x ,   y ) , primeiro! Afinal de contas, Não sei se você concorda comigo, mas o inverso do inverso é o certo (hehe :D), ou seja:

J u ,   v = 1 J * ( x ,   y )

Passo 2

Então bora calcular esse Jacobiano inverso J * ( x ,   y ) aí primeiro!

J * ( x ,   y ) = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Como u = x 2 - y 2

v = x + y .

Calculando cada uma dessas derivadas parciais:

∂ u ∂ x = ∂ x 2 - y 2 ∂ x = 2 x

Calculando as demais derivadas:

∂ u ∂ y = ∂ x 2 - y 2 ∂ y = - 2 y

∂ v ∂ x = ∂ x + y ∂ x = 1

∂ v ∂ y = ∂ x + y ∂ y = 1

Logo:

J * x ,   y = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = 2 x - 2 y 1 1 =

Calculando o determintante...

2 x - - 2 y = 2 x + 2 y

Passo 3

Voltando para o Jacobiano normal J :

J = 1 J * ( x ,   y )

J = 1 2 x + y

Como x + y = v ...

J u ,   v = 1 2 v

Lembre-se de que queremos na real é a do módulo heim!

J u ,   v = 1 2 v

Resposta

a )   1 2 v

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