Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

Determine a matriz jacobiana da função abaixo

F x , y , z = x 2 + x y z + y cos ⁡ z

Passo 1

Vamos começar identificando que tipo de função é essa.

Temos 3 parâmetro certo? Sim, nesse caso x , y e z são parâmetros. Isso porque eles estão no F .

E ele leva em quantas coordenadas? 1 só né?

Beleza, então a função vai ser assim

F : R 3 → R

Vamos agora ver quais são as funções componentes

f 1 = x 2 + x y z + y cos ⁡ z

Como fica a matriz jacobiana?

J f = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z

Nesse caso o jacobiano vai ser igual ao vetor gradiente, conseguiu ver como é parecido?

Passo 2

Vamos calcular as derivadas agora, usando as propriedades de derivada

∂ f 1 ∂ x = 2 x + y z

∂ f 1 ∂ y = x z + cos ⁡ z

∂ f 1 ∂ z = x y - y sen ⁡ z

Como vai ficar a matriz?

J F = 2 x + y z x z + cos ⁡ z x y - y sen ⁡ z

Resposta

J F = 2 x + y z x z + cos ⁡ z x y - y sen ⁡ z

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