Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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Enunciado

Se a , b , c , d , e , f , g , h , i   ∈ R são tais que:

1 2 0 0 2 1 1 1 0 a b c d e f g h i = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Então a b c + d e f + g h i é igual a:

a )   2 ;

b ) - 4 ;

c )   0

d ) - 2

e )   4 .

Passo 1

Falaaa, belezinha?? Bora lá para mais um probleminha dessa prova, agora envolvendo multiplicação de matrizes.

Bom, essa questão parece que vai nos forçar a multiplicar as matrizes de fato e resolver um sistema enorme. Porém, tem algo que acontece nessa questão que talvez faça a solução ser mais fácil, consegue enxergar?

Veja que no enunciado temos algo do tipo:

A B = I d

Ou seja, podemos dizer que B = A - 1  

E para calcular inversas existe um método mais fácil, o método da matriz espelhada.

Passo 2

Vamos lembrar qual a ideia do método, primeiro escrevemos:

1 2 0 | 1 0 0 0 2 1 | 0 1 0 1 1 0 | 0 0 1

Colocamos a matriz que queremos a inversa na esquerda e a identidade na direita

Agora a gente vai escalonar a matriz da esquerda até ficar igual a identidade, porém tudo que fizermos de operações na parte esquerda, faremos na direita.

Bora lá escalonar ela:

Fazendo L 3 = L 3 - L 1 , ou seja, linha 3 será a linha 3 menos a linha 1

1 2 0 | 1 0 0 0 2 1 | 0 1 0 0 - 1 0 | - 1 0 1

Agora vamos fazer L 1 = L 1 - L 2     e   L 2 = L 2 + 2 L 3

1 0 - 1 | 1 - 1 0 0 0 1 | - 2 1 2 0 - 1 0 | - 1 0 1

E para finalizar, faremos L 1 = L 1 + L 2 , L 3 =   - L 3   e depois trocaremos L 2 e L 3

1 0 0 | - 1 0 2 0 1 0 | 1 0 - 1 0 0 1 | - 2 1 2

Agora que chegamos na identidade na esquerda, temos que a matriz inversa será a da direita, ou seja:

A - 1 = B = - 1 0 2 1 0 - 1 - 2 1 2  

Passo 3

Porém, temos que:

a b c d e f g h i = - 1 0 2 1 0 - 1 - 2 1 2  

Ou seja a b c + d e f + g h i =   - 4

Assim chegamos ao fim de mais um probleminha, essa questão em específico é bem interessante, ela nos mostra que antes de começar a fazer as coisas é melhor olhar bem para o que se tem e bolarmos uma estratégia boa.

Resposta

Letra B

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Resolva o sistema abaixo, sabendo que 0abc : a x + a y + c z = a ² + c ² ² ²b x - a y + c z = c ² - b ² ² ²a x + c y - b z = a ² - c ² ² ²
Responda à questão análoga à anterior com respeito à reação x F e S + y O 2 → z F e 2 O 3 + t S 0 3 (geração de dióxido de enxofre a partir da pirita)
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: c) x–2 y+z+t=1 2 x+y-2 z+2 t=0 x+6 y=- 2
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Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: