Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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Enunciado

Considere a matriz A 5 × 5 , cujas linhas são v → 1 , v → 2 , … , v → 5 . É dado que uma forma escalonada de A é:

A ~ 0 1 4 7 9 0 0 4 5 6 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Qual dos seguintes conjuntos gera R 5 ? (Abaixo, e → j indica o vetor 0 , … , 0,1 , 0 , … , 0 , cuja única entrada não-nula é a j -ésima.)

( a ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 , e → 1 , e → 2

( b ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5

( c ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 , e → 2 , e → 3 , e → 4

( d ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 , e → 1 , e → 5

Passo 1

Bom, dá pra resolver o exercício tranquilamente com o que foi dado, mas vamos escalonar completamente a matriz A pra ficar mais fácil ainda:

0 1 4 7 9 0 0 4 5 6 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 → L 2 ← L 2 - 2 L 3 L 1 ← L 1 - 3 L 3 0 1 4 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 → L 1 ← L 1 - L 2 0 1 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ta, pra gerar o R 5 precisamos de 5 vetores L I e no conjunto v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 temos apenas 3 vetores L I pela matriz escalonada. Isso quer dizer que precisamos de pelo menos mais 2 vetores L I . Isso já elimina a b .

Passo 2

Também podemos ver que nenhum vetor tem a primeira coordenada não nula, então o e → 1 = 1,0 , 0,0 , 0 tem que entrar no nosso conjunto gerador do R 5 . Afinal, se não conseguíssemos gerar vetores que possuem a primeira coordenada diferente de 0 já não estaríamos gerando o R 5 inteiro haha. Isso elimina a c .

Passo 3

Como eu falei ali em cima precisamos de mais 2 vetores L I para gerar o R 5 inteiro. Bom, as duas letras que sobraram acrescentam 2 vetores, resta ver qual o L I haha.

Além do e → 1 que sabemos que é necessário, a letra a também acrescenta o e → 2 . Mas repare na primeira linha da nossa matriz completamente escalonada! É exatamente o vetor e → 2 . Isso quer dizer que ele já podia ser gerado com nosso conjunto inicial v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 então ele não serve pra gente!

Logo, a resposta é a d .

Resposta

Letra ( d )

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