Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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Enunciado

Sejam A   e   C matrizes   2   ×   2 . Considere as afirmativas abaixo:

1- Se A v = ( 7,3 ) T tem infinitas soluções, então A v = 0 tem infinitas soluções

2- Se   C v   =   0 tem solução, então podemos garantir que C v   =   b tem solução para todo b .

(A) Apenas I é verdadeira.

(B) Todas são verdadeiras.

(C) Apenas II é verdadeira.

(D) Todas são falsas.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez queremos verificar qual das afirmações são verdadeiras.

Bem, vamos começar com a primeira afirmação

Se A v = ( 7,3 ) T tem infinitas soluções, então A v = 0 tem infinitas soluções

E aí, o que vocês acham? Ora vamos pegar dois vetores w , v quaisquer e diferentes tais que

A v = ( 7,3 ) T

A w = ( 7,3 ) T

Logo, temos que

A v - A w = ( 0,0 ) T

Usando a linearidade do produto matricial

A ( v - w ) = ( 0,0 ) T

Ou seja, temos uma solução não trivial para o caso

A v = 0

E como w , v são quaisquer. Temos que se A v = ( 7,3 ) T tem infinitas soluções, então A v = 0 tem infinitas soluções.

Logo a primeira afirmação é verdadeira

Passo 2

Agora, vamos para a segunda afirmação. Ela diz que Se   C v   =   0 tem solução, então podemos garantir que C v   =   b tem solução para todo b .

E aí, será que é verdade? Bem Suponha que C é a matriz com todas suas entradas nulas, então claramente   C v   =   0 tem solução. Mas C v   =   b não terá solução pois C v   =   0 para todo v . Logo a segunda afirmação é falsa.

Logo, a alternativa correta é a letra a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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