Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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Enunciado

Mostre que se a d - b c ≠ 0 , então a forma escalonada reduzida por linhas de

a b c d       é       1 0 0 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Nós precisamos mostrar que essa matriz não nula que ele nos deu, quando escalonada vai resultar na matriz identidade. Vamos ver se isso é verdade.

Vamos pegar nossa matriz original:

a b c d

Fazendo a linha 1 ser multiplicada por 1 / a , temos:

a b c d ⟶ L 1 → 1 a L 1 1 b / a c d

Já apareceu nosso pivô da linha 1. Agora vamos zerar o elemento de baixo, fazendo:

1 b / a c d ⟶ L 2 → L 2 - c L 1 1 b / a 0 d - b c a

Passo 2

Estamos mais perto de encontrar a matriz identidade. Agora, vamos transformar o elemento d - b c a em 1 . Para isso, vamos começar fazendo:

1 b / a 0 d - b c a ⟶ L 2 → a L 2 1 b / a 0 a d - b c

Agora vamos multiplicar a linha 2 por 1 a d - b c :

1 b / a 0 a d - b c ⟶ L 2 → 1 a d - b c L 2 1 b / a 0 1

Só falta fazer o b / a virar zero. Para isso, vamos multiplicar a linha 2 por - b / a e somar com a linha 1:

1 b / a 0 1 ⟶ L 1 → L 1 - ( b / a ) L 2 1 0 0 1

E chegamos na nossa matriz identidade, demonstrando o que o enunciado pediu.

Encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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Resolva o sistema abaixo, sabendo que 0abc : a x + a y + c z = a ² + c ² ² ²b x - a y + c z = c ² - b ² ² ²a x + c y - b z = a ² - c ² ² ²
Responda à questão análoga à anterior com respeito à reação x F e S + y O 2 → z F e 2 O 3 + t S 0 3 (geração de dióxido de enxofre a partir da pirita)
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Use escalonamento para mostrar que um sistema 3 × 3 cujas linhas ℓ1, ℓ2, ℓ3 são linearmente independentes possui uma única solução.
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: