Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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Enunciado

Considere o sistema linear

x 1 - x 2 + 2 x 3 = - 3 2 x 1 - 3 x 2 - x 3 = - 3 - x 1 + 2 x 2 + a + 3 x 3 = b - 2 x 1 + 2 x 2 + c x 3 = 6

c) Determine a , b e c de maneira que s   =   ( 1 ,   2 , - 1 ) seja solução do sistema, mas não seja a única.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um sistema de equações e pediu pra gente determinar os valores de a , b e c de maneira que o vetor s   =   ( 1 ,   2 , - 1 ) seja solução do sistema, mas não seja a única solução.

Lembra que um sistema pode ter uma, nenhuma ou infinitas soluções? No nosso caso, o nosso sistema precisa ser possível e indeterminado, ou seja, ele precisa ter infinitas soluções, beleza? Então, a gente precisa encontrar um conjunto de soluções.

Vamos escrever nosso sistema:

x 1 - x 2 + 2 x 3 = - 3 2 x 1 - 3 x 2 - x 3 = - 3 - x 1 + 2 x 2 + a + 3 x 3 = b - 2 x 1 + 2 x 2 + c x 3 = 6

O primeiro passo é escrever esse sisteminha em forma de matriz ampliada:

1 - 1 2 2 - 3 - 1 - 1 2 a + 3 - 2 2 c - 3 - 3 b 6

Então, o que nós vamos fazer é escalonar esse sistema pra encontrar uma solução geral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar a escalonar nossa matriz, multiplicando a primeira linha por - 2 e somando com a linha 2 :

1 - 1 2 2 - 3 - 1 - 1 2 a + 3 - 2 2 c - 3 - 3 b 6 L 2 → - 2 L 1 + L 2 → 1 - 1 2 0 - 1 - 5 - 1 2 a + 3 - 2 2 c - 3 3 b 6

Agora vamos somar a linha 3 coma linha 1 :

1 - 1 2 0 - 1 - 5 - 1 2 a + 3 - 2 2 c - 3 3 b 6 L 3 → L 3 + L 1 → 1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 1 a + 5 - 2 2 c - 3 3 b - 3 6

Multiplicando agora a segunda linha por 2 e somando com a última linha, temos:

1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 1 a + 5 - 2 2 c - 3 3 b - 3 6 L 4 → 2 L 1 + L 4 → 1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 1 a + 5 0 0 c + 4 - 3 3 b - 3 0

Somando a segunda linha com a terceira linha:

1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 1 a + 5 0 0 c + 4 - 3 3 b - 3 0 L 3 → L 2 + L 3 → 1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 0 a 0 0 c + 4 - 3 3 b 0

Por fim, vamos multiplicar a terceira linha por c + 4 a e subtrair da última linha:

1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 0 a 0 0 c + 4 - 3 3 b 0 L 4 → L 4 - c + 4 a L 3 → 1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 0 a 0 0 0 - 3 3 b - 4 b - b c a

Passo 3

Beleza, já temos nossa matriz escalonada. Agora podemos olhar para o sistema equivalente (que resultou do escalonamento) e verificar os valores de x 1 ,   x 2 ,   x 3 .

Olhando pra primeira linha da nossa matriz, temos:

x 1 - x 2 + 2 x 3 = - 3

Isolando x 1 :

x 1 = x 2 - 2 x 3 - 3

Agora vamos pegar a segunda linha do sistema:

- x 2 - 5 x 3 = 3

Isolando x 2 :

x 2 = - 5 x 3 - 3

Pra definir todo mundo em termos de uma única variável, vamos substituir x 2 na equação de x 1 :

x 1 = x 2 - 2 x 3 - 3

x 1 = - 5 x 3 - 3 - 2 x 3 - 3

x 1 = - 7 x 3 - 6

Agora podemos definir um conjunto solução da forma:

x 1 , x 2 , x 3 = ( - 7 x 3 - 6 , - 5 x 3 - 3 , x 3 )

x 1 , x 2 , x 3 = - 6 ,   - 3 ,   0 + x 3 - 7 ,   - 5 ,   1

Observe que, dessa forma, s   =   ( 1 ,   2 , - 1 ) também é solução do sistema, mas não a única. Fazendo x 1 ,   x 2 ,   x 3 = ( 1 ,   2 , - 1 ) encontramos (como no item b) os valores:

a = 0

b = 0

c = - 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = 0

b = 0

c = - 4

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