Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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Enunciado

Considere as afirmações abaixo:

(I) Seja a 1 v 1 + … + a k v k = 0 uma combinação linear de vetores do R n com coeficientes a 1 , … , a k ,   todos não nulos. Então cada vetor v i é combinação linear dos demais vetores do conjunto v 1 , … , v k .

(II) Seja A uma matriz na forma escalonada. Então uma coluna que não contém pivô é combinação linear das colunas a sua esquerda.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) A combinação linear dada foi:

a 1 v 1 + … + a k v k = 0

Podemos reescrevê-la para um dado vetor v i da seguinte forma:

a i v i = - a 1 v 1 - … - a k v k

Logo:

v i = 1 a 1 - a 1 v 1 - … - a k v k

Então qualquer vetor v i do conjunto { v 1 , … v k } pode ser escrito como combinação linear dos demais vetores desse conjunto.

A afirmação (I) é verdadeira.

Passo 2

(II) Sabemos que quando aplicamos a eliminação de Gauss nas linhas e uma das linhas zera, é porque ela é combinação linear das linhas que estão acima dela, certo?

Algo parecido acontece quando estamos escalonando em colunas!

Uma coluna que não contém pivô é uma coluna nula.

Essa coluna vai ser combinação linear das colunas que vem antes dela.

A afirmação (II) é verdadeira.

Resposta

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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