Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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Enunciado

Calcule os determinantes da matriz abaixo por escalonamento. Expresse seu cálculo como uma sequência de igualdades entre determinantes e tenha o cuidado de usar os três tipos de operações elementares

1 2 - 1 1 2 1 0 2 1 5 - 3 0 - 2 1 7 3

Passo 1

E aíí gente, vamos lá pra mais uma?

Aqui queremos calcular o determinante dessa matriz 4 × 4 :

1 2 - 1 1 2 1 0 2 1 5 - 3 0 - 2 1 7 3

E vamos fazer isso usando o escalonamento

Basicamente, vamos transformar essa matriz em uma matriz triangular superior (fazemos isso escalonando).

Se as operações forem operações simples como simplesmente somar linhas e etc, o determinante continua o mesmo: basta multiplicar os elementos da diagonal principal. Mas se trocarmos linhas/colunas de lugar entre si, o sinal do determinante vai ser trocado

Vamos lá

Passo 2

Vamos escalonar a matriz. Para isso, vamos começar zerando os elementos da primeira coluna embaixo do 1:

1 2 - 1 1 2 1 0 2 1 5 - 3 0 - 2 1 7 3 → L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - L 1 L 4 → L 4 + 2 L 1 1 2 - 1 1 0 - 3 2 0 0 3 - 2 - 2 0 5 5 5

Agora vamos zerar os elementos da segunda coluna

1 2 - 1 1 0 - 3 2 0 0 3 - 2 - 2 0 5 5 5 → L 3 → L 3 + L 2 L 4 → 3 L 4 + 5 L 2 1 2 - 1 1 0 - 3 2 0 0 0 0 - 2 0 0 25 15

Por fim, podemos trocar a linha 3 com a linha 4:

1 2 - 1 1 0 - 3 2 0 0 0 0 - 2 0 0 25 15 → 1 2 - 1 1 0 - 3 2 0 0 0 25 15 0 0 0 - 2

Passo 3

Legal, já temos a matriz escalonada:

1 2 - 1 1 0 - 3 2 0 0 0 25 15 0 0 0 - 2

Agora pensando nas operações feitas, a única que altera o determinante é a troca de linhas, que altera o sinal do determinante, ou seja:

det ⁡ 1 2 - 1 1 2 1 0 2 1 5 - 3 0 - 2 1 7 3 = det ⁡ 1 2 - 1 1 0 - 3 2 0 0 3 - 2 - 2 0 5 5 5 = det ⁡ 1 2 - 1 1 0 - 3 2 0 0 0 0 - 2 0 0 25 15 = - det ⁡ 1 2 - 1 1 0 - 3 2 0 0 0 25 15 0 0 0 - 2

Calculando o determinante da matriz escalonada, basta multiplicar os elementos da diagonal principal:

1 ∙ - 3 ∙ 25 ∙ - 2 = 150

Ou seja:

det ⁡ 1 2 - 1 1 2 1 0 2 1 5 - 3 0 - 2 1 7 3 = - det ⁡ 1 2 - 1 1 0 - 3 2 0 0 0 25 15 0 0 0 - 2 = - 150

Arrasamossss

Resposta

-150

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