Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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Enunciado

Considere o sistema linear

x 1 - x 2 + 2 x 3 = - 3 2 x 1 - 3 x 2 - x 3 = - 3 - x 1 + 2 x 2 + a + 3 x 3 = b - 2 x 1 + 2 x 2 + c x 3 = 6

b) Determine valores para a , b e c de maneira que s   =   ( 1 ,   2 , - 1 ) seja solução do sistema.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um sistema de equações e pediu pra gente determinar os valores de a , b e c de maneira que o vetor s   =   ( 1 ,   2 , - 1 ) seja solução do sistema. Vamos escrever nosso sistema:

x 1 - x 2 + 2 x 3 = - 3 2 x 1 - 3 x 2 - x 3 = - 3 - x 1 + 2 x 2 + a + 3 x 3 = b - 2 x 1 + 2 x 2 + c x 3 = 6

O primeiro passo é escrever esse sisteminha em forma de matriz ampliada:

1 - 1 2 2 - 3 - 1 - 1 2 a + 3 - 2 2 c - 3 - 3 b 6

Então, o que nós vamos fazer é escalonar esse sistema pra encontrar os valores de a , b e c onde x 1 ,   x 2 ,   x 3 = ( 1,2 , - 1 ) . Beleza?

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar a escalonar nossa matriz, multiplicando a primeira linha por - 2 e somando com a linha 2 :

1 - 1 2 2 - 3 - 1 - 1 2 a + 3 - 2 2 c - 3 - 3 b 6 L 2 → - 2 L 1 + L 2 → 1 - 1 2 0 - 1 - 5 - 1 2 a + 3 - 2 2 c - 3 3 b 6

Agora vamos somar a linha 3 coma linha 1 :

1 - 1 2 0 - 1 - 5 - 1 2 a + 3 - 2 2 c - 3 3 b 6 L 3 → L 3 + L 1 → 1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 1 a + 5 - 2 2 c - 3 3 b - 3 6

Multiplicando agora a segunda linha por 2 e somando com a última linha, temos:

1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 1 a + 5 - 2 2 c - 3 3 b - 3 6 L 4 → 2 L 1 + L 4 → 1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 1 a + 5 0 0 c + 4 - 3 3 b - 3 0

Somando a segunda linha com a terceira linha:

1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 1 a + 5 0 0 c + 4 - 3 3 b - 3 0 L 3 → L 2 + L 3 → 1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 0 a 0 0 c + 4 - 3 3 b 0

Por fim, vamos multiplicar a terceira linha por c + 4 a e subtrair da última linha:

1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 0 a 0 0 c + 4 - 3 3 b 0 L 4 → L 4 - c + 4 a L 3 → 1 - 1 2 0 - 1 - 5 0 0 a 0 0 0 - 3 3 b - 4 b - b c a

Passo 3

Beleza, já temos nossa matriz escalonada. Agora podemos olhar para o sistema equivalente (que resultou do escalonamento), substituir os valores de x 1 ,   x 2 ,   x 3 = ( 1,2 , - 1 ) e verificar os valores de a , b e c .

Olhando pra primeira linha da nossa matriz, temos:

1 x 1 - 1 x 2 + 2 x 3 = - 3

Substituindo os valores de x 1 , x 2 e x 3 :

1 ∙ 1 - 1 2 + 2 - 1 = - 3

- 1 - 2 = - 3

Que satisfaz a equação.

Para a segunda linha do sistema:

0 x 1 - x 2 - 5 x 3 = 3

0 ∙ 1 - 1 2 - 5 - 1 = - 3

- 2 + 5 = - 3

Também satisfaz a equação.

Agora para a terceira linha:

0 x 1 + 0 x 2 + a x 3 = b

Substituindo x 1 ,   x 2 ,   x 3 = ( 1,2 , - 1 ) :

0 ∙ 1 + 0 ∙ 2 + a ∙ - 1 = b

Logo,

- a = b

E para a última linha:

0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = - 4 b - b c a

Logo,

- 4 b - b c a = 0

- 4 b - b c = 0

Colocando b em evidência:

b - 4 - c = 0

Dessa forma, temos:

b = 0

Ou

- 4 - c = 0 → c = - 4

Portanto, para que s   =   ( 1 ,   2 , - 1 ) seja solução do sistema, temos:

a = 0

b = 0

c = - 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = 0

b = 0

c = - 4

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