Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Abaixo, cada “quadradinho” representa um número diferente de zero. (Dois quadradinhos idênticos podem representar números diferentes!) Qual dos conjuntos abaixo pode ter dimensão menor do que 3?

(a) ∎ , 0 , ∎ , 0 , ∎ , ∎ , ∎ , ∎ , ( ∎ , 0 , ∎ , ∎ )

(b) ∎ , ∎ , ∎ , 0 , ∎ , 0 , ∎ , ∎ , ( ∎ , 0,0 , ∎ )

(c) ∎ , 0 , ∎ , ∎ , ∎ , ∎ , 0 , ∎ , ( ∎ , ∎ , ∎ , 0 )

(d) ∎ , 0 , ∎ , 0 , ∎ , ∎ , ∎ , 0 , ( 0,0 , ∎ , ∎ )

Passo 1

Beleza, vamos com calma, vamos testar a possibilidade de cada um dos conjuntos ter dimensão menor que 3.

Antes, só pra lembrar, ter a dimensão menor que 3 significa que um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros do conjunto.

(a) ∎ , 0 , ∎ , 0 , ∎ , ∎ , ∎ , ∎ , ( ∎ , 0 , ∎ , ∎ )

Eu consigo escrever o primeiro vetor como C L   dos outros 2? Vamos ver:

∎ , 0 , ∎ , 0 = a ∎ , ∎ , ∎ , ∎ + b ( ∎ , 0 ,   ∎ , ∎ )

Para gerar o zero na segunda coordenada precisaríamos que o a fosse igual a 0. Mas, dessa forma, a última coordenada só poderia ser igual a zero se o b também fosse zero. Isso porque a soma de um numero diferente de zero com zero vai ser sempre diferente de zero. Ex: 2 + 0 = 0

Dessa forma, geraríamos o vetor nulo, e como os “quadradinhos” não são nulos, não é o que queremos.

Logo, essa C L   é impossível!!

Sacaram a lógica da parada? Vamos fazer isso com todos os vetores!

Agora o segundo vetor do conjunto:

∎ , ∎ , ∎ , ∎ = a ∎ , 0 , ∎ , 0 + b ( ∎ , 0 ,   ∎ , ∎ )

Essa é fácil, não tem como eu gerar uma segunda coordenada diferente de zero com esses dois vetores!

Beleza, por último o terceiro:

∎ , 0 , ∎ , ∎ = a ∎ , 0 , ∎ , 0 + b ( ∎ , ∎ ,   ∎ , ∎ )

Aqui caímos na mesma situação do primeiro, para gerar o zero na segunda coordenada preciso que b seja igual a zero, porém, dessa forma, ficaria impossível gerar uma última coordenada diferente de zero!

Ok, as três C L ' s são impossíveis, vamos para a outra letra

Passo 2

(b) ∎ , ∎ , ∎ , 0 , ∎ , 0 , ∎ , ∎ , ( ∎ , 0,0 , ∎ )

Primeira C L :

∎ , ∎ , ∎ , 0 = a ∎ , 0 , ∎ , ∎ + b ( ∎ , 0 ,   0 , ∎ )

Impossível gerar uma segunda coordenada diferente de zero!

Segunda C L :

∎ , 0 , ∎ , ∎ = a ∎ , ∎ , ∎ , 0 + b ( ∎ , 0 ,   0 , ∎ )

Aqui para gerar o zero a deveria ser zero, mas, dessa forma, seria impossível gerar uma terceira coordenada diferente de zero.

Tão pegando o jeito né!?

Terceira C L :

∎ , 0,0 , ∎ = a ∎ , 0 , ∎ , ∎ + b ( ∎ , ∎ ,   ∎ , 0 )

Aqui para gerar o zero na segunda coordenada o   b deveria ser zero, mas, dessa forma, sería impossível gerar uma terceira coordenada igual a zero.

Passo 3

(c) ∎ , 0 , ∎ , ∎ , ∎ , ∎ , 0 , ∎ , ( ∎ , ∎ , ∎ , 0 )

Primeira C L :

∎ , 0 , ∎ , ∎ = a ∎ , ∎ , 0 , ∎ + b ( ∎ , ∎ ,   ∎ , 0 )

Gente aqui é possível, a soma de dois números diferentes de zero pode dar zero. Ex:

1,0 , 2,1 = 3,1 , 0,1 + ( - 2 , - 1,2 , 0 )  

Obaa, então aqui por um vetor poder ser C L   dos outros, a minha dimensão pode ser menor que 3! Não preciso nem testar os outros vetores!

Resposta

(c)

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