Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Considere, em M 4 ( R ) , o produto interno definido por A , B = t r B t A . Se S = { U ∈ M 4 R   : U t = - U } , então dim ⁡ S ⊥ é igual a

a     6

b   10

c   8

d   9

e   5

Passo 1

Falaaaa, blz?? Para começar essa questão vamos entender quem é esse conjunto S.

Quando temos U t = - U , temos que U é uma matriz antissimétrica, ou seja, ela é do tipo:

U =   0 a b c - a 0 d e - b - d 0 f - c - e - f 0

Passo 2

Agora, veja que U possui 6 variáveis independentes, ou seja:

dim ⁡ U = 6

A gente poderia simplesmente colocar cada uma das 6 variáveis em evidência e o espaço seria gerado por 6 matrizes (assim como foi feito na questão 7, por exemplo)

Passo 3

Porém, vamos usar o seguinte resultado:

Se V ⊂ E   , temos que dim ⁡ E = dim ⁡ V + d i m ⁡ ( V ⊥ )

Ou seja, aplicando isso na questão:

dim ⁡ M 4 R = dim ⁡ S + d i m ⁡ ( S ⊥ )

16 = 6 + dim ⁡ S ⊥ ∴ dim ⁡ S ⊥ = 10

Resposta

Letra B

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