Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Considere os subespaços

V = [ 1 , cos ⁡ 2 x , sin ⁡ 2 x , cos 2 ⁡ x ]

Do espaço vetorial C ( R ) , de todas as funções contínuas de R em R , e

W = [ - 1 + 5 x + x 2 + 2 x 3 ,   x + 3 x 2 - x 3 ,   1 + x + x 2 ,   2 - x + x 2 - x 3 ]

Do espaço vetorial P ( R ) , de todos os polinômios com coeficientes reais. É correto afirmar que dim ⁡ V e dim ⁡ W são, respectivamente, iguais a:

Escolha uma opção:

  1. 3   e   4
  2. 2   e   4
  3. 3   e   3  
  4. 3   e   2
  5. 2   e   2
  6. 2   e   3

Passo 1

Faaaala, galerinha marota. Nesse tipo de questão, começamos procurando relações lineares triviais entre os elementos. Depois, fazemos a combinação linear nula dos elementos e vemos se conseguimos forçar todos os coeficientes a serem nulos. Se não pudermos temos que tirar algum dos elementos relacionados e assim, diminuímos o conjunto gerador até atingirmos a base L.I.

O conjunto

V = [ 1 , cos ⁡ 2 x , sin ⁡ 2 x , cos 2 ⁡ x ]

Tem algumas relações interessantes como:

cos ⁡ 2 x = 2 cos 2 ⁡ x - 1

sin ⁡ 2 x = 1 - 2 cos 2 ⁡ x

Assim, estes elementos são linearmente dependentes de { 1 , cos 2 ⁡ x } , assim os retiramos:

V = [ 1 , cos 2 ⁡ x ]

Agora, tome a combinação linear nula:

a 1 + b cos 2 ⁡ x = 0 ,       ∀ x ∈ R

Podemos resolver derivando e jogando valores ou só jogando valores. Tome:

x = π / 2 x = 0 ⇒ a + b ⋅ 0 = 0 a + b ⋅ 1 2 = 0 ⇒ a = 0 b = 0

Como a única solução é a trivial, temos que 1 , cos 2 ⁡ x é gerador e L.I., logo é base tal que:

dim ⁡ V = 2

Passo 2

Quanto a W , vamos começar da combinação linear nula dos elementos, uma vez que são difíceis de relacionar:

a - 1 + 5 x + x 2 + 2 x 3 + b   x + 3 x 2 - x 3 + c   1 + x + x 2 + d   2 - x + x 2 - x 3 = 0

⇒ 2 a - b - d x 3 + a + 3 b + c + d x 2 + 5 a + b + c - d x + - a + c + 2 d = 0

Pela identidade polinomial,

2 a - b - d = 0 a + 3 b + c + d = 0 5 a + b + c - d = 0 - a + c + 2 d = 0

Na notação matricial, os coeficientes são representados por:

2 - 1 0 - 1 1 3 1 1 5 1 1 - 1 - 1 0 1 2 L 1 ' → - L 4 ⇒ L 4 ' → L 1     1 0 - 1 - 2 1 3 1 1 5 1 1 - 1 2 - 1 0 - 1   L 2 ' → L 2 - L 1 ⇒ L 3 ' → L 3 - 5 L 1 L 4 ' → L 4 - 2 L 1  

⇒ 1 0 - 1 - 2 0 3 2 3 0 1 6 9 0 - 1 2 3   L 2 ' → L 3 ⇒ L 3 ' → L 2   1 0 - 1 - 2 0 1 6 9 0 3 2 3 0 - 1 2 3   L 3 ' → L 3 - 3 L 2 ⇒ L 4 ' → L 4 + L 2  

⇒ 1 0 - 1 - 2 0 1 6 9 0 0 - 16 - 24 0 0 8 12     L 3 ' → L 3 / ( - 16 ) ⇒ L 4 ' → L 4 + L 3 / 2   1 0 - 1 - 2 0 1 6 9 0 0 1 3 / 2 0 0 0 0     L 1 ' → L 1 + L 3 ⇒ L 2 ' → L 2 - 6 L 3  

⇒ 1 0 0 - 1 / 2 0 1 0 0 0 0 1 3 / 2 0 0 0 0 ⇒ a - d / 2 = 0 b = 0 c + 3 2 d = 0  

Repare que isto nos dá uma dica das relações na combinação. Aplicando, temos que para todo x :

d 2 - 1 + 5 x + x 2 + 2 x 3 - 3 d 2   1 + x + x 2 + d   2 - x + x 2 - x 3 = 0

Assim, para d ≠ 0 :

  2 - x + x 2 - x 3 = 3 2   1 + x + x 2 - 1 2 - 1 + 5 x + x 2 + 2 x 3

Logo, podemos retirar do conjunto gerador. Para verificar que os outros são L.I., basta observar que se tomássemos d = 0 , teríamos uma C.L. nula com os elementos correntes do conjunto gerador e segundo a solução acima, teríamos a = d 2 = 0 , b = 0 e c = - 3 2 d = 0 . Assim,

dim ⁡ W = 3

Resposta

c. 3   e   3  

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