Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Seja A uma matriz 4 × 4 . Aplicando-se operações elementares às linhas de A, obtém-se a matriz E abaixo:

Pode-se afirmar que:

(a) 1,3 , 0 , - 2 , 0,0 , 1,2 é base do espaço gerado pelas linhas de A.

(b) { 1,0 , 0,0 , 3,0 , 0,0 , 0,1 , 0,0 , - 2,2 , 0,0 } gera a imagem de A.

(c) dim ⁡ I m A = 3

(d) dim ⁡ N A = 3

Passo 1

(a) Se fizemos o processo de escalonamento nas linhas de A e as duas últimas linhas zeraram, isso significa que elas eram combinações lineares das duas primeiras linhas, então não contribuem para o espaço gerado pelas linhas de A.

Se consideramos as linhas que ficaram, teremos então uma base para o espaço gerado pelas linhas e a letra (a) é verdadeira!

Mas vamos ver por que as demais são falsas.

Passo 2

(b) Lembra que imagem = espaço gerado pelas colunas.

Quando fazemos o escalonamento da matriz A, nós não podemos pegar os vetores das colunas da matriz E resultante e dizer que eles geram a imagem de A!!

Se quiséssemos obter uma base para a imagem de A, teríamos que colocar os vetores das colunas em linhas (ou seja, transpor a matriz) e escalonar! Aí sim os vetores não nulos que sobrarem nas linhas vão formar a base da imagem.

Por isso não podemos afirmar o que tá escrito na letra (b).

Passo 3

(c) Apesar do que eu falei no Passo 2, temos o seguinte:

dim ⁡ e s p a ç o   d a s   l i n h a s   d e   A = d i m ⁡ ( e s p a ç o   d a s   c o l u n a s   d e   A )

Aí vocês sabem que se eu quero saber a dimensão do espaço das linhas de A eu posso escalonar a matriz A e ver a quantidade de vetores não-nulos que restaram, certo?

Mas, pra saber somente a dimensão do espaço das colunas de A (imagem de A), eu posso fazer a mesma coisa e escalonar a matriz A, sem me preocupar em transpor!!

Por isso:

dim ⁡ I m A = 2

Pois a matriz E tem dois vetores não nulos nas linhas.

A letra (c) é falsa porque ela diz que essa dimensão vale 3.

Passo 4

(d) Pra ver que essa afirmativa é falsa vamos usar o Teorema Núcleo-Imagem para matrizes.

Se eu tenho uma matriz A m × n , então:

dim ⁡ N A + dim ⁡ I m A = n

Vimos na letra (c) que:

dim ⁡ I m A = 2

E sabemos do enunciado que n = 4 . Substituindo, vamos encontrar:

dim ⁡ N A = 2

E não 3, como diz a letra (c).

Resposta

(a) 1,3 , 0 , - 2 , 0,0 , 1,2 é base do espaço gerado pelas linhas de A.

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