Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Qual dos sistemas abaixo possui um conjunto-solução de dimensão 2?

(a)   x + y + z + w = 0 x - y + z - w = 0 3 x + y + 3 z + w = 0

(b) x + 2 y + z + 2 w = 0 2 x + 4 y + 2 z + 4 w = 0 3 x + 6 y + 3 z + 6 w = 0

(c) x + y + z = 0 x - y + z = 0

(d) x + y + z + w = 0

Passo 1

Antes de começar a fazer essa questão, vamos lembrar algumas coisinhas sobre equações cartesianas:

  • O número de variáveis livres (VL) é igual à dimensão do espaço formado
  • O número de variáveis dependentes (VD) é igual ao número de equações cartesianas não redundantes.

Também precisamos lembrar do seguinte:

A questão quer saber qual dos sistemas tem uma solução de dimensão 2. Logo, o número de variáveis livres da nossa resposta tem que ser igual a 2. Vamos analisar caso a caso.

Passo 2

(a)   x + y + z + w = 0 x - y + z - w = 0 3 x + y + 3 z + w = 0

O vetor solução desse sistema é um vetor da forma x   y   z   w T , então é um vetor do R 4 .

Para vermos se as equações são redundantes ou não, podemos coloca-las numa matriz aumentada e escalonar.

Como o lado direito é todo igual a 0, vamos omitir essa parte e escalonar apenas a matriz dos coeficientes mesmo :D

Fazendo isso:

1 1 1 1 1 - 1 1 - 1 3 1 3 1   ~ ⏞ ( i )   1 1 1 1 0 - 2 0 - 2 0 - 2 0 - 2

Passo (i): L 2 ← L 2 + ( - 1 ) L 1 e L 3 ← L 3 + ( - 3 ) L 1

Como zeramos uma linha, só temos 2 equações não redundantes. O número de VD é 2.

Vamos chamar de n o número de variáveis livres (VL). Usando o teorema:

n + 2 = 4 ⇒ n = 2

Logo, a dimensão do espaço formado (que é a solução do sistema) é 2. Essa é a nossa resposta!

Nos passos seguintes vamos analisar as outras alternativas e ver que elas estão erradas.

Passo 3

(b) x + 2 y + z + 2 w = 0 2 x + 4 y + 2 z + 4 w = 0 3 x + 6 y + 3 z + 6 w = 0

O vetor solução desse sistema é um vetor da forma x   y   z   w T , logo é um vetor do R 4 .

Nessa alternativa fica claro que a segunda equação é o dobro da primeira, enquanto a terceira é o triplo da primeira. Então só temos 1 equação não redundante.

Vamos chamar de n o número de VL.

Usando o teorema:

n + 1 = 4   ⇒ n = 3

Então a dimensão do conjunto solução nesse caso é 3.

Passo 4

(c) x + y + z = 0 x - y + z = 0

O vetor solução desse sistema é um vetor da forma x   y   z   T , logo é um vetor do R 3 .

Como só temos duas equações e uma não é múltipla da outra, temos 2 equações não redundantes e 2 VD.

De novo n vai ser o número de VL.

Pelo teorema:

n + 2 = 3   ⇒ n = 1  

A dimensão do conjunto solução é 1.

Passo 5

(d) x + y + z + w = 0

O vetor solução desse sistema é um vetor da forma x   y   z   w   T , logo é um vetor do R 4 .

Temos uma só equação, então o número de VD é 1.

Pra variar, vamos chamar de n o número de VL.

Pelo teorema:

n + 1 = 4   ⇒ n = 3  

A dimensão do conjunto solução é 3.

Deu tudo certo e só temos mesmo uma opção com conjunto solução de dimensão 2, que está na letra (a).

Resposta

(a)   x + y + z + w = 0 x - y + z - w = 0 3 x + y + 3 z + w = 0

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