Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Sejam v 1 , v 2 , v 3 um conjunto linearmente independente em R 5 e H o espaço gerado por este conjunto. Seja ainda v 4 ∉ H . Considere as afirmações:

  1. O conjunto v 1 , v 1 + v 2 , v 2 + v 3 é linearmente independente.
  2. O conjunto v 1 , v 1 + v 2 , v 1 + v 3 , v 1 + v 4 é linearmente independente.

Então:

a ambas são verdadeiras

b ambas são falsas

c I é verdadeira e I I é falsa

d I é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

Afirmativa I :

Esse conjunto é claramente L I concordam? Vamos fazer algumas operações elementares se você não tiver convencido. Primeiro botamos os vetores nas linhas de uma matriz e fazer algumas operações elementares:

← v 1 → ← v 1 + v 2 → ← v 2 + v 3 → → L 2 ← L 2 - L 1 ← v 1 → ← v 2 → ← v 2 + v 3 → → L 3 ← L 3 - L 2 ← v 1 → ← v 2 → ← v 3 →

Chegamos que sabemos ser L I , então está provado que o conjunto dado também é L I . Fizemos algo parecido com um escalonamento aqui haha.

Passo 2

Afirmativa I I :

Se v 4 ∉ H , então:

v 1 , v 2 , v 3 , v 4

é L I . Fazendo o mesmo esquema que fizemos no Passo 1, temos:

← v 1 → ← v 1 + v 2 → ← v 1 + v 3 → ← v 1 + v 4 → → L 2 ← L 2 - L 1 L 3 ← L 3 - L 1 L 4 ← L 4 - L 1 ← v 1 → ← v 2 → ← v 3 → ← v 4 →

Chegamos em um conjunto L I , então a afirmativa é veredadeira!

Resposta

Letra a

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