Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Seja S o subespaço vetorial de F ( R ) gerado por

t ,   e t - t , cos ⁡ t , e t - cos ⁡ t , s e n t , cos ⁡ t - s e n ( t )

Então, a dimensão de S é igual a

a )   3

b )   2

c )   6

d )   4

e )   5

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora para essa questão envolvendo dimensão de subespaço.

Primeiro, vamos lembrar um conceito

Quando dizemos que um espaço é gerado por uma família de vetores, tamo dizendo que essa família serve, basicamente, como uma base. Porém, para ser considerada de fato uma base precisamos de um requisito chave, que é:

B = u 1 , u 2 , …   , u m  

Dizemos que B é base   ↔ T o d o s   v e t o r e s   d e   B   s ã o   L . I

Além disso, a dimensão do espaço gerado por B é igual a quantidade de vetores L.I de B, bora aplicar essa ideia na questão???

Passo 2

Como foi dito, fica mais evidente que nosso objetivo é encontrar a quantidade de vetores L.I dessa família da questão.

t ,   e t - t , cos ⁡ t , e t - cos ⁡ t , s e n t , cos ⁡ t - s e n ( t )

Vamos escrever:

v 1 = t

v 2 = e t - t

v 3 = cos ⁡ t

v 4 = e t - cos ⁡ t

v 5 = s e n   t

v 6 = cos ⁡ t - s e n   t  

Vamos tomar B = v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6

Agora, vamos perceber que v 6 = v 3 - v 5 , ou seja, v 6 não é L.I com os outros, vamos retirar ele, ficando com B = v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5

Além disso, perceba que v 2 = v 4 + v 3 - v 1 , logo podemos retirar o v 2 , ficando com nossa candidata a base B = v 1 , v 3 , v 4 , v 5

Acredito que nesse momento não conseguimos achar mais vetores que são combinação dos outros, de forma trivial, bora analisar de forma mais profunda se esses que sobraram são de fato L.I

Passo 3

Agora, bora relembrar como podemos dizer que os vetores são L.I

Dizemos que v 1 , v 3 , v 4 , v 5 são L.I se a única solução para a equação

a v 1 + b v 3 + c v 4 + d v 5 = 0

É a = b = c = d = 0

Bora ver se nossos vetores respeitam isso?

a t + b cos ⁡ t + c e t - cos ⁡ t + d s e n   t = 0

t a + cos ⁡ t   b - c + s e n   t   d + e t c = 0

Aqui temos que pensar, se jogarmos b = c até conseguimos zerar o termo com cos ⁡ t   , mas e os outros?? Como eu conseguiria zerar, por exemplo

t a + s e n   t   d + e t c = 0

Sem ser a = c = d = 0 ?

Veja que não conseguimos achar, de fato, uma solução para essa equação diferente de a = b = c = d = 0 , pois não conseguimos relacionar os termos para isso

Ou seja, temos que o subespaço S é gerado por v 1 , v 3 , v 4 , v 5 , logo, dizemos que a dimensão de S é 4.

Bora para a próxima questão??

Resposta

Letra D

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