Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Julgue verdadeiro ou falso. Justifique.

a) Seja A m × n ⋅ x = 0 um sistema linear homogêneo com m equações e n variáveis. Se n = m + 2 , então existem duas soluções x 1 ,   x 2   ∈ R n linearmente independentes.

b) Em P 4 , é possível encontrar dois subespaços vetoriais W 1 e W 2 com d i m W 1 = d i m W 2 = 3 e tais que a soma W 1 + W 2 seja direta.

Passo 1

Vamos analisar cada afirmativa separadamente:

a) Antes de tudo, temos que saber que o número de variáveis livres desse sistema linear é n - p , sendo p o posto da matriz dos coeficientes A m × n .

O conjunto solução desse sistema linear vai ser um subespaço vetorial de R n em que a dimensão vai ser o número de variáveis livres desse sistema, ou seja, n - p .

Como o posto p só pode ser no máximo o número de linhas de A m × n , então a dimensão do conjunto solução deve ser pelo menos n - m = m + 2 - m = 2 .

Logo, existem dois vetores L.I. dentro desse conjunto solução :) A afirmativa é verdadeira.

Passo 2

b) Se a soma W 1 + W 2 for direta, então não deve haver intersecção de W 1 com W 2 , certo?

Nesse caso:

dim ⁡ W 1 ⊕ W 2 = d i m W 1 + d i m W 2 - d i m ⁡ ( W 1 ∩ W 2 )

dim ⁡ W 1 ⊕ W 2 = d i m W 1 + d i m W 2

Se tivermos d i m W 1 = d i m W 2 = 3 , teríamos que dim ⁡ W 1 ⊕ W 2 = 6 , sendo que W 1 ⊕ W 2 pertence a P 4 e logo é um absurdo que tenha dimensão 6 pois dim ⁡ P 4 = 5 . Então a afirmativa é falsa.

Resposta

a) Verdadeiro.

b) Falso.

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