Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Sejam   u → = ( 3,5 , 7 , … ) , v → = ( 6,9 , 12 , … ) e   w → = ( 4,6 , 8 , … ) sequências infinitas definidas por u n = 2 n + 1 , v n = 3 n + 3 e w n = 2 n + 2 ( n ≥ 1 ) . Considere a soma e o produto por escalar análogos aos do R n (isto é, componente a componente). Então a d i m ⁡ ( u → , v → , w → ) é:

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) Infinito

Passo 1

Note que:

u n = 2 n + 1

v n = 3 n + 3 = 3 ( n + 1 )

w n = 2 n + 2 = 2 ( n + 1 )

Ou seja, os termos gerais v n e w n são múltiplos escalares de uma mesma expressão, que vamos chamar de x n : x n = n + 1

Passo 2

Assim, se consideramos o espaço gerado por u → , v → , w → , iremos precisar tirar os termos que são combinações lineares dos demais, então teríamos:

u → , v → , w → = u n , x n

Como só existem dois elementos dentro desse espaço gerado, a dimensão dele é 2.

Resposta

(b) 2

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