Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Enunciado

Sejam n ≥ 1 um inteiro, V um espaço vetorial de dimensão n munido de um produto interno ∙ , ∙ e B = v 1 , v 2 , … ,   v n com v 1 , v 2 , … , v n   ∈ V não nulos e dois a dois distintos. Considere as seguintes afirmações:

( I ) se o conjunto B é ortogonal, então B é uma base de V ;

I I se B é uma base de V, então o conjunto B é ortogonal;

( I I I ) o conjunto B é ortogonal se, e somente se, a matriz

v 1 , v 1 v 1 , v 2 ∙ ∙ ∙ v 1 , v n v 2 , v 1 v 2 , v 2 ⋯ v 2 , v n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ v n , v 1 v n , v 2 ⋯ v n , v n

Tem determinante positivo

Assinale a alternativa correta:

a ) apenas a afirmação ( I I I ) é necessariamente verdadeira;

b )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

c )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

d ) apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

e ) apenas a afirmação ( I I ) é necessariamente verdadeira;

Passo 1

Falaaaaa, beleza?? Bora para mais um probleminha dessa prova. Começando com a primeira afirmação:

s e   o   c o n j u n t o   B   é   o r t o g o n a l ,   e n t ã o   B   é   u m a   b a s e   d e   V

Bom, para dizer se essa afirmação é verdadeira, vamos pensar que para B ser uma base B precisa ter n vetores linearmente independentes. Porém, veja que B possui de fato n vetores, todos eles ortogonais, ou seja, linearmente independente. Por isso forma uma base do espaço.

Passo 2

Agora vamos para segunda afirmação.

s e   B   é   u m a   b a s e   d e   V ,   e n t ã o   o   c o n j u n t o   B   é   o r t o g o n a l ;

Essa afirmação é falsa, ela ta dizendo, basicamente, que se temos uma base, então é ortogonal, porém conseguimos achar bases de espaço que não são ortogonais, por exemplo:

V = R 2

Veja que B = 1,0 ,   ( 1,1 ) é uma base do espaço, uma vez que possui dois vetores linearmente independentes. Além disso, os vetores não são ortogonais, uma vez que:

1,0 , ( 1,1 ) = 1

Para que eles fossem ortogonais precisaríamos que o produto interno seja zero, porém não é.

Passo 3

Agora nessa última afirmação, perceba que é um se, e somente se. Ou seja, tem que respeitar a ida e a volta:

Deve respeitar a ida, ou seja: Se B é ortogonal, o determinante da matriz é positivo

Deve respeitar a volta, ou seja: Se o determinante é positivo, B é ortogonal

O jeito mais fácil de checarmos esse problema é testar essa volta, ou seja, vamos tomar uma base não ortogonal, que tenha o determinante maior que zero. Para isso, vamos usar o exemplo anterior

Tomaremos:

B = 1,0 ,   ( 1,1 )

Calculando os termos dessa matriz:

1,0 , 1,1 = 1

1,0 , 1,0 = 1

1,1 , 1,1 = 2

1,1 , 1,0 = 1

Dai:

1,0 , 1,0 1,0 , 1,1 1,1 , 1,0 1,1 , 1,1 =   1 1 1 2

Porém, o determinante dessa matriz é 1, que é positivo e a base não é ortogonal, por isso a afirmação é falsa

E aqui chegamos no finalzinho dessa prova, bora para o último problema?

Resposta

Letra D

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